Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Пусть в пространстве (х, у, z) есть область D, в которой задана функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, т.е. каждая точка из этой области хaрактеризуется скаляром (числом) u, однозначно связанным с ее координатами. (Если u = f(x, y, z) определяет температуру в точке М (х, у, z) – поле температур и т.п.).

Рис 4.2

Проведем из точки М области D (рис. 4.2) вектор ` s, напрaвляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg (a, b, g – углы наклона вектора к осям Ох. Оу, Оz). Возьмем на s точкy М<sub>1</sub> (х + Dх, у + Dу, z + Dz). Расстояние ММ<sub>1</sub> определится выражением . Полагаем, что функция и ее производные по х, у, z непрерывны в области D. Полное приращение функции представим как Du = u<sub>x</sub>` Dx + u_y` Dy + u<sub>z</sub>` Dz + e₁Dx + e₂Dy + e₃Dz (1) где e₁, e₂, e₃ стремятся к нулю при Ds ® 0. Разделим все члены (1) на Ds:

(2).

Очевидно, что и (2) можно записать в виде: (3).

Предел отношения Du / Ds при Ds ® 0 называется производной от функции u = f(x, y, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора ` s и обозначается ; (4). Переходя к пределу в (3) получим:

(4.9)

Зная частные производные легко найти производную по любому направлению ` s. (Сами частные производные являются производными по направлению векторов ` i, `j, `k).

Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется вектор, проекции котoрого на оси координат являются значениями частных производных функции в этой точке: (4.10)

Т.о. каждой точке области D задания функции u соответствует градиент grad u, т.е. в области D определено векторное поле градиентов. Можно показать, что если в области D задано скалярное поле u = u(x, y, z) и в нем определено поле градиентов (4.10), то (производная по направлению `s)равняется проекции

вектора grad u на вектор ` s, т.е. (4.11),

откуда, обозначив через j угол между ` s и grad u, получим

(4.11`) или (4.11``).

Отметим важное свойство градиента – производная в данной точке по направлению вектора ` s имеет наибольшее значение и равнa |grad u|, если направление` s совпадает с направлением градиента.