Производная

Рассмотрим функцию у = f(x) определенную на некотором интервале. Дадим аргументу х приращение Dх. Новому значению аргумента х + Dх будет, в общем случае, соответствовать новое значение функции f (x + Dх), т.е. функция также получит некоторое приращение

Dу = f (x + Dх) – f (x). Составим отношение . Если существует, то его называют производной данной функции и обозначают y` (или f`(x) или dy / dx). Иногда используют обозначение у`_х – индекс показывает, по какому аргументу берется производная.

(3.1) или (3.1`)

Производной данной функции y = f(x) по аргументу х называют предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. В общем случае производная также является некоторой функцией от х. (f`(x) = j(x)). Конкретное значение производной при х = а обозначают f `(а) или у`/_{х = а}. Операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.

Понятие производной (и соответствующий математический аппарат) широко используются в различных прикладных задачах. Пример: Известно, что средняя скорость движения тела определяется выражением V = s / t (s = s (t) – путь пройденный телом, t время движения). Очевидно, что мгновенную скорость можно найти, как (механический смысл производной). Рассмотрим геометрическую интерпретацию.

Рис. 3.1

Возьмем на графике функции y = f(x) (рис.3.1) произвольные точки М₀(х, у) и М₁(х + Dх, у + Dу) и проведем секущую М₀М₁. Очевидно, что угол наклона секущей к оси Ох определяется выражением . Если точка М₁ приближается к точке М₀, то секущая поворачивается вокруг точки М₀ (при этом Dх ® 0) и в пределе занимает положение касательной к графику функции, проведенной через точку М₀.

Угол наклона касательной определится выражением .

Геометрический смысл производной очевиден: Значение производной f`(x) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М(х, у). Это, с учетом (1.36), позволяет записать уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке (х<sub>0</sub>, у<sub>0</sub>) в виде у – у<sub>0</sub> = f `(x₀)(x – x₀) (3.3).

Говорят, что если функция y = f(x) имеет производную в точке х = х₀, т.е. если существует предел , она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка (интервала), говорят, что она дифференцируема на отрезке (интервале).

Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. Действительно, если , то , где g – бесконечно малая величина, т.е. . Но тогда Dу = f `(x₀) Dx + gDx, откуда следует, что Dу ® 0 при Dх ® 0 и функция f(x) непрерывна в точке х₀. Очевидно, в точках разрыва функция не может иметь производной. Это не значит однако, что если функция непрерывна в точке х₀, то она дифференцируема в ней. Рассмотрим функцию, график которой представлен

на рисунке. Функция непрерывна во всех точках [a, b]. Однако в точке с к графику функции можно провести две различные касательные, т.е. в этой точке первая производная не существует (испытывает разрыв) и функция непрерывна, но не дифференцируема.

Рассмотрим функцию в точке х = 0. , т.е. в точке х = 0 рассматриваемая функция непрерывна, но не дифференцируема.

Рассмотрим производные основных элементарных функций. Пусть у = х². Очевидно Dу = (x + Dx)² – х² = 2xDx + D² х и , т.е. если у = х², то у` = 2х. Рассуждая аналогично, несложно доказать, что производная функции у = х<sup>n</sup>, где n – целое положительное число, равна nx<sup>n–1</sup>, т.е. если у = х<sup>n</sup>, то у` = nх^n–1 (3.4). Эта формула, как будет показано ниже, верна и в случае любого действительного n. Приведем без доказательств следующие утверждения:

Если у = sinx, то y` = cosx (3.5) Если у = cosx, то y` = – sinx (3.6)

Производная постоянной равна нулю, т.е. если у = с, где с – постоянная, то с` = 0 (3.7)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной, если у = c f(x), где c = const, то y` = cf `(x) (3.8).

Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций, т.е. если , то (3.9)

( – символ суммы индексированных (нумерованных) величин, где i – текущий индекс, к и n – нижний и верхний пределы суммы – т.е. номера первой и последней складываемых величин.)

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй, т.е. если у = uv, то

y` = u`v + uv` (3.10).

Производная дроби (частного от деления двух функций) равна дроби, знаменатель которой есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е. если y = u / v, то (3.11).

Используя приведенные соотношения можно получить производные других элементарных функций и составить таблицу производных. Приведем их, опуская доказательства.

Если у = log_ax, то (3.12). Очевидно, (3.12`)

Если y = tg x, то (3.13) Если y = сtg x, то (3.14)

Если у = а^х (a > 0), у` = а<sup>х</sup>ln a (3.15) и (е<sup>х</sup>)` = e^x (3.15`)

Рассмотрим особенности нахождения производной от сложной функции - функции вида у = F(u), где u = f(x), или у = F(f(x). Переменную u называют промежуточным аргументом.

Теорема: Если функция u = f(x) имеет в некоторой точке х производную u_x` = f `(x), а функция y = F(u), имеет при соответсвующем значении u производную y`<sub>u</sub> = F(u), то сложная функция у = F(f(x)) в указаной точке х также имеет производную y`_х = F`<sub>u</sub>(u)f `(x) или y`<sub>x</sub>=y`_uu`_x (3.16)

(Иначе – производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента).

Пример: y = sin x² => y = sin u, u = x², используя (3.16). (3.5) и (3.4) получим: y`<sub>u</sub> = cos u, u`_x = 2x, y`_x = 2xcos x².

Приведенное правило позволяет получить производную неявной функции т.е. функции, заданной уравнением F(x, y) = 0 (3.17).

(Отметим, что если в (3.17) удастся привести уравнение к виду у = f (х), то функция оказывается заданной в явном виде. Операция эта осуществима далеко не всегда).

Пример: F(x, y) = sin (x + y) – e^{(x – y)} = 0. Дифференцируя обе части равенства по х и помня, что у есть функция от х, получим:

В некоторых случаях, прежде чем найти производную, бывает удобно прологарифмировать уравнение, задающее функцию. Пусть у = хⁿ. Прологарифмировав обе части равенства, получим ln y = n ln x, откуда для произвольного действительного n. Выражение называют логарифмической производной. (Отметим, что логарифмическое дифференцирование удобно применять при нахождении производных от произведения большого количества функций и показательно-степенных функций).

Найдем производную обратной функции. Пусть y = f(x) возрастающая или убывающая функция, определенная на некотором интервале (a, b), (a < b). (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁) ее называют возрастающей. Если f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁ функция убывающая). Для определенности (без потери общности) рассмотрим возрастающую функцию. Из определения ее очевидно, что значения х и у связывает взаимно однозначное соответствие. Рассматривая у как аргумент, а х как функцию, свяжем их значения соотношением х = j(у). Эта функция является обратной для функции y = f(x), а функция y = f(x) обратной для х = j(у). Эти функции имеют один и тот же график и функция х = j(у) находится как решение уравнения y = f(x) относительно х. Отметим, что:

1. Если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = c, f(b) = d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c, d];

2. Если функция y = f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций (однозначных).

Пример: у = х² на интервале (–¥, ¥) не является ни возрастающей, ни убывающей и имеет две обратные функции: (0 £ х < ¥) и (- ¥ < х < 0).

Теорема: Если для функции y = f(x) существует обратная функция х = j(у), которая в рассматриваемой точке у имеет производрую j`(у) отличную от нуля, то в соответствующей точке х функция y = f(x) имеет производную f `(x) равную 1 / j`(у), т.е. справедлива формула

f`(x) = 1 / j`(у) (3.18).

Используя полученное правило, пополним таблицу производных:

Если y = arcsin x, то (3.19) Если y = arccos x, то (3.20)

Если y = arctg x, то (3.21) Если y = arcctg x, то (3.22)

Примеры:

Используя (3.11) найдем:

(Напомним, что sin²x + cos²x=1; sin2x = 2sinx cosx)

у = х^х. Прологарифмировав обе части равенства по основанию е получим lnу = xlnx. Продифференцировав обе части равенства, найдем (lny)` = (xlnx)` => y`/ у = lnx + 1 => y` = x^x (lnx + 1).

Выведем фомулу (3.19). Итак, y = arc sin x => sin y = sin arc sin x => x = sin y. Воспользуемся (3.18):

В ряде случаев функциональную зависимость (линию, поверхность) удобно задавать в параметрической форме: каждая неизвестная (координата точки) представляется функцией параметра t, причём каждому значению параметра соответствуют координаты некоторой точки (значения неизвестных, удовлетворяющих обычному уравнению зависимости); и т.д. (Пример - параметрические уравнения прямой в разделе 1.7.1)

(От параметрического задания функции легко перейти к привычному , исключив из уравнений параметр t - разрешив уравнение (1) относительно t и подставив его в (2)). Производная функции, заданной параметрически, определяется выражением:

Рассмотрим понятие производных высшего порядка. Производную от функции y = f(x) (ее называют первой), обозначаемую y` = f`(x) = dy / dx можно рассматривать как новую (по отношению к f(x)) функцию той же переменной. Эта функция, в свою очередь, может быть продифференцирована, т.е. найдена первая производная от первой производной исходной функции f(x); (y`)`=(f`(x))`. Она называется второй производной, обозначается y`` = f ``(x) = d²y / dx² и является производной высшего (второго) порядка. Очевидно, что таким же образом может быть определена производная n–го порядка (n Î Z), обозначаемая y⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾(x) (n – берется в скобках, чтобы не путать с показателем степени). Иногда порядок производной обозначают римскими цифрами.