Предел. Непрерывность функции

Переменную величину х называют упорядоченной, если известна область D изменения ее и про каждое из двух любых значений можно сказать, какое предыдущее и какое последующее.

Рассмотрим упорядоченную переменную, изменяющуюся специальным образом, определяемым термином «Переменная величина стремится к пределу».

Число а называют пределом переменной х, если для всякого сколь угодно малого положительного e можно указать такое значение х, начиная с которого все последующие значения будут удовлетворять неравенству |x –а | <e. В этом случае говорят, что х стремится к а (символически х ® а или lim x = a).

Геометрическая интерпретация (рис.2.1): постоянная а есть предел переменной х, если для любой сколь угодно малой e – окрестности точки а найдется такое значение х, что все точки, соответствующие последующим

значениям х, будут находиться в этой окрестности.

Рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Отметим: 1. Предел постоянной равен самой постоянной; 2. Переменная не может иметь двух пределов; 3. Не всякая переменная имеет предел.

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а. Число b называют пределом функции f(x) при х ® а, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдется такое d > 0, что |f(x) – b| < e при |х – а| < d, (т.е. если для у = f(x) при любом малом e можно найти такое d, что из неравенства а – d < x < а + d следует неравенство b – e < y < b + e. Символическая запись . Геометрическая интерпретация (рис.2.2.) – для всех точек х отстоящих от а не более чем на d, точки М графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b –e и y = b + e.

Если х < а и х ® а, то пишут х ® а – 0; если х > а и х ® а – пишут х ® а + 0. Числа и называют левым и правым пределом функции f(x) в точке а. Если b₁ и b₂ существуют и равны, т.е. b₁ = b₂ = b, то b и будет пределом в точке а в смысле данного выше определения. Отметим, что для существования предела в точке а не требуется, чтобы функция была определена в точке а. (Рассматриваются значения х в окрестности точки а, отличные от а).

Говорят, что функция f(x) стремится к пределу b при х ® ¥, если для всякого e > 0 можно указать такое N > 0, что для всех х удовлетворяющих условию |x| > N будет выполняться неравенство |f(x) – b| < e.

Функция f(x) стремится к бесконечности при х ® а, (является бесконечно большой при х ® а) если для всякого M > 0, как бы велико оно ни было, можно найти такое d > 0, что для всех х ¹ а и удовлетворяющих условию |x – a| < d имеет место |f(x)| > M, т.е. (При этом возможно как , так и ). Отметим, что функция может и не стремиться к конечному пределу при х ® а или х ® ¥. Примеры: у = sin x не имеет предела при х ® ¥, а у = sin 1/x – при х ® 0.

Функция a(х) называется бесконечно малой при х ® а или х ® ¥, если или .

Говорят, что если a(х) и b(х) – бесконечно малые при х ® а, и:

1) (или ) – то a – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с b и пишут a = 0 (b).

2) , где m – число отличное от нуля, то a и b бесконечно малые

одного порядка. Если m = 1, a и b – эквивалентные бесконечно малые, что

можно записать используя уже знакомый символ эквивалентности: a~b

3) , где m - число отличное от нуля, то a- бесконечно малая n -го

порядка по сравнению с b (т.е. a~bⁿ).

Отметим, что предел отношения бесконечно малых не изменится при замене их (или одной из них) эквивалентными бесконечно малыми. Это позволяет упростить решение многих задач теории пределов.

Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями определяется теоремой: если a(х) - бесконечно малая при х ® а, то функция f(x)=1/a(x) - бесконечно большая при х ® а, и обратно, если f(x) - бесконено большая при x ® а, то a(x)=1/f(x) - бесконечно малая при х ® а.