Основные свойства отношений

Таких свойства три: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Отношение называется рефлексивным, если для любого элемента выполняется .

Отношение называется симметричным, если для любых выполняются отношения и .

Отношение называется транзитивным, если для любых из и следует

Хорошими пояснениями приведенных свойств отношений являются следующие вербальные типы отношений. Так содержательный смысл рефлексивности поясняет отношение знакомства: каждый знаком с самим собой. Содержание симметричности поясняет отношение родства: если а родственник в, то и в родственник а. Содержательный смысл транзитивности поясняет отношение связи: если город а связан железной дорогой с городом в, который связан железной дорогой с городом с, то город а связан железной дорогой с городом с.

Кроме основных свойств отношений имеют место и некоторые другие, например, с добавкой частицы «анти». Среди них следует выделить свойство антисимметричности.

Отношение Ф называется антисимметричным, если оба отношения и выполняется только тогда, когда х = у.

В качестве иллюстрации этого свойства рассмотрим такой пример. Пусть отношение Ф задано на множестве R действительных чисел, и Ф есть отношение «≤». Тогда отношение Ф рефлексивно, так как для любых Это отношение не симметрично, так как, например 2 ≤ 3, но 3 ≤ 2 не верно. Отношение транзитивно, так как очевидно, что если х ≤ у, у ≤ z, то x ≤ z. Отношение антисимметрично, так как х ≤ у и у ≤ х только при х = у.