Отношения эквивалентности

Понятие эквивалентности в нашем сознании ассоциируется с одинаковостью или равенством каких-то объектов. Э естественно, так как само слово «эквивалент» с латинского языка переводится как равносильный.

Математическое понятие эквивалентности, сохраняя его содержательный смысл, четко формулируется в терминах теории множеств. При этом можно дать две не противоречащих друг другу формулировки понятию эквивалентности: конструктивную и аксиоматическую.

Конструктивная формулировка опирается на выделение из некоторого множества М таких объектов х, которые обладают некоторым общим свойством или признаком. Иначе говоря, выбирают сходные, в чем-то одинаковые (равные) объекты. Такие объекты относят к одному классу. Именно так строят всевозможные классификации. Сам процесс отнесения объекта к какому-либо классу в теории множеств называется разбиением множества М.

Систему непустых подмножеств { М ₁, М ₂, …, М _n} множества М называют разбиением этого множества, если выполняются условия:

1. .

2. при

Подмножества называются классами данного разбиения. Отсюда вытекает такое определение эквивалентности: отношение Ф на множестве М называется отношением эквивалентности, если существует разбиение {М₁, М₂, …, М_n} множества М такое, что отношение x Ф y выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат некоторому об щему классу М_i данного разбиения.

Аксиоматическая формулировка определяется через свойства (аксиомы), которые выделяют отношения эквивалентности среди прочих бинарных отношений. Отношение Ф на множестве М называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Можно доказать, что обе формулировки отношения эквивалентности являются равносильными.

Рассмотрим примеры отношений эквивалентности.

1. Отношение равенства в любой системе чисел.

2. Отношение подобия во множестве всех треугольников в евклидовой плоскости.

3. Отношение параллельности на множестве прямых в евклидовой плоскости.

Рассмотрим пример отношения, которое не является отношением эквивалентности. Пусть на декартовом произведении рассматривается отношение x < y. Это отношение не является отношением эквивалентности по следующим причинам. Во-первых, не выполняется свойство рефлексивности, так как х, так же как и у, не может быть меньшим самого себя. Во-вторых, не выполняется и свойство транзитивности, так как если х < y, то у не может быть меньше х. Хотя свойство транзитивности и выполняется, но этого недостаточно, чтобы данному отношению быть эквивалентностью.

Еще одним характерным примером отношения, не представляющим эквивалентность, является отношение перпендикулярности прямых в евклидовой плоскости . Действительно, это отношение обладает следующими свойствами.

1. Оно антирефлексивно, так как прямая х не может быть перпендикулярной сама себе.

2. Оно симметрично, поскольку если , то .

3. Оно не транзитивно, поскольку если и , то х ǀǀ z, т.е. невозможно .