Функции как отношения на множествах

С привычным понятием функции мы знакомы со школьной скамьи. Однако такое понятие сложилось в результате долгого пути развития. Впервые оно появилось в 17-ом веке в работах Ферма и Декарта и окончательно сформировалось в современном (привычном) виде у Дирихле в первой половине 19-го века.

Современное представление о функции основано на том, что оно является частным случаем отношений. Пусть отношение Ф на множестве А таково, что для всякого существует ровно один элемент для которого выполняется отношение х Ф у. Тем самым каждому элементу сопоставляется некоторый элемент определенный этим условием. Такое отношение называется функцией или отображением (иногда однозначным соответствием). Элемент соответствующий элементу , называется значением функции Ф на элементе х (более привычно вместо Ф писать f). Эту зависимость (отношение) между х и у записывают в виде

Множество Ф тех пар для которых выполнено отношение х Ф у, называется графиком функции.

Например, если А – числовая прямая, а отношение Ф есть отношение равенства (у = х), то график состоит из всех точек вида и является биссектрисой координатного угла, т.е. обычным графиком функции у = х. Если отношение Ф выполнено для тех пар для которых , то график этой функции есть обычная синусоида.

Таким образом, приведенное определение графика является обобщением понятия обычного графика функции.

Выше мы рассмотрели случай, когда элементы х и у принадлежали разным множествам. Рассмотрим отношения на таких парах где , а . Отношение Ф опять таки называют функцией или отображением, если для каждого элемента существует единственный элемент , для которого выполнено отношение х Ф у. Такую функцию символически записывают как Здесь А называется областью отправления функции Ф, а В – областью прибытия. Отображение называют также отображением множества А во множество В. Элемент , который соответствует элементу обозначается Ф (х) и называется образом элемента х. Сам элемент х называется прообразом элемента Ф (х).

Из определения отображения следует, что каждый элемент имеет единственный образ, но не всякий элемент обязан иметь прообраз. Если же такой прообраз существует, то он не обязан быть единственным.

Поясним сказанное примерами.

1. Пусть А – множество людей, а N – множество натуральных чисел. Далее, пусть – отображение, которое каждому человеку ставит в соответствие его рост, выраженный в сантиметрах, округленный до целочисленных значений. Ясно, что каждому человеку соответствует только одно единственное значение роста. Но значение роста, например в 300 см, не соответствует никакому человеку. С другой стороны, существует много людей, у которых рост – 175 см.

2. Пусть А – множество живущих в настоящее время людей, В – множество всех когда-либо живущих людей, а отображение ставит в соответствие каждому человеку его отца. Ясно, что у каждого человека имеется единственный образ – отец. Но не у всякого человека есть прообраз, так как не всякий человек есть отец (если у – женщина или у – бездетный мужчина). Кроме того, несколько человек могут иметь одного отца.

В зависимости от того, какое число образов элемент множества А имеет во множестве В и какое число прообразов элемент множества В имеет во множестве А отображения называют инъективными, сюръективными и биективными.

Отображение называют инъективным или взаимно-однозначным, если для каждого элемента существует не более одного прообраза во множестве А. Другими словами, график функции (отображения) является инъективным, если он не содержит упорядоченных пар с разными первыми и одинаковыми вторыми элементами.

Отображение называют сюръективным, (если любой элемент имеет образ) если ни один элемент множества А не имеет больше одного образа. Иначе говоря, отображение является сюръективным, если его график не содержит упорядоченных пар с одинаковыми первыми и разными вторыми элементами.

Если отображение одновременно инъективно и сюръективно, то оно называется биективным. Множества А и В, для которых существует биективное отображение, называются равномощными, т.е.

На рис. 2.8. приведены примеры рассмотренных видов отображений

А В А В

а) b)

c) d)

Рис. 2.8

Отображение на рис. 2.8 a) не инъективно, так как имеет два прообраза – элементы и не сюръективно, так как это отображение не является функцией в силу того, что образами элемента являются три прообраза –

Отображение, представленное на рис. 2.8 b) является сюръективным, так как ни один элемент множества А не имеет больше одного образа, но не инъективным, поскольку элемент имеет два прообраза – элементы .

Отображение на рис. 2.8 с) не сюръективно, так как элемент имеет три прообраза и инъективно, поскольку ни один элемент множества В не имеет более одного прообраза во множестве А.

И, наконец, отображение на рис. 2.8 d) является инъективным и сюръективным, а потому – биективным.