Определение 1.12

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M₀(x₀,y₀) D. Причем M₀ - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

44)Наибольшее и наименьшее значение гладких функций нескольких переменных

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m.
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12.

Решение

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху.

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D:

3. Стационарные точки на границах l1, l2, l3:

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:

45)Условный экстремум функции двух переменных

Метод множителей Лагранжа

, метод нахождения условного экстремума функции , где , относительно ограничений , где меняется от единицы до .

Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — :

где .

Составим систему из уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и .

Если полученная система имеет решение относительно параметров и , тогда точка может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

46)Касательная плоскость и нормально к гладкой поверхности

Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности.

Пусть f(x) определена на множестве D и M0=(x0,y0) внутренняя точка области D. Рассмотрим поверхность Ф, определяемую графиком функции z=f(x,y) на D. Введем следующие обозначения P=(x,y, f(x.y)) =(M, f(M)), M=(x,y),

P0=(x0, y0, z0) =(x0,y0, f(x0,y0))= (M0, f(M0)), M0= (x0, y0).

Плоскость

Z – z0 = A(x – x0) +B(y – y0) (a),

проходящая через точку P0 называется касательной плоскостью к поверхности Ф, если разность между аппликатой точки P=(x,y, f(x.y)) и точки Q(x,y,z)Î(a) есть o(r) при r®0 (r =r(M,M0)).

f(x,y) – [z0 + A(x – x0) +B(y – y0)]=o(r(M,M0)) (1) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями я

(см. рис. ch5_4_1.swf).

Теорема. Для существования касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) необходимо и достаточно дифференцируемости функции f в точке M0. Причем коэффициенты A, B (координаты нормального вектора) равны

.

Доказательство следует из определения дифференцируемости.

Замечание. Касательная плоскость, если она существует, определяется единственным образом.

Вектора называются единичными нормалями к поверхности в заданной точке.

Определение. Поверхность z = f(x,y), (x,y)ÎD называется гладкой, если функция f(x,y) непрерывно дифференцируема на D, т.е. имеет там непрерывные частные производные. Геометрически это означает непрерывное изменение касательной плоскости или вектора нормали при перемещении по поверхности.

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

x − x 0 F ' x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F ' y (x 0, y 0, z 0) = z − z 0 F ' z (x 0, y 0, z 0) .

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

F ' _x (x ₀, y ₀, z ₀) · (x − x ₀) + F ' _y (x ₀, y ₀, z ₀) · (y − y ₀) + F ' _z (x ₀, y ₀, z ₀) · (z − z ₀) = 0