Решение. 25.1.Функция не определена в точке х = 3 (знаменатель дроби равен нулю)

25.1. Функция не определена в точке х = 3 (знаменатель дроби равен нулю). Классифицируем разрыв с помощью односторонних пределов:

.

Значит, функция в точке х = 3 терпит бесконечный разрыв и через эту точку проходит вертикальная асимптота х = 3. Найдём наклонную асимптоту, используя соотношения (21)

.

Получили горизонтальную асимптоту у = 1. Строим график функции, подсчитав ориентировочную точку (6,2) (см рис. 26).

25.2. Функция разрывна в точке х = 2.

Вычисляем односторонние пределы:

.

Значит, х = 2 – уравнение вертикальной асимптоты. Ищем уравнение наклонной асимптоты в виде у = k х + b:

Уравнение асимптоты (см. рис.

8)Общая схема исследования функций и построение графика

Чтобы построить график функции, рекомендуется исследовать ее по следующей схеме:

1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2) найти асимптоты графика функции;

3) проверить симметрию графика, периодичность;

4) найти интервалы монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения с осями координат;

7) провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) построить график функции.

Замечание. В п. 3 проверяется симметрия графика относительно оси OY, которая имеет место в случае четной функции

или симметрия относительно начала координат для нечетной функции

Пример:

1) -т.р.;

2) находим — вертикальная асимптота.

Для асимптоты у = kх + b:

т.е. наклонной асимптоты нет;

3) график симметрией, периодичностью не обладает;

4) находим при — подозрительная на экстремум, в точках, которые не входят в

Имеем таблицу:

(Поскольку на то на

на и

5) находим у " = О при ln х = 2 x = — по-

дозрительная на перегиб, в точках, которые не входят в

Составим таблицу:

(Поскольку на то на

на

6) точек пересечения с осями координат нет;

7) исследуем поведение функции при х 0:

8) строим график функции (рис.10.16)

9)Механический смысл первой и второй производной

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ t равна скорости точки в данный момент времени: S't=V. Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α. Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V. Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α: Но V=S't. Поэтому α=(S't)', т. е. α=S't'

10)Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности X₀ функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x ₀ + Δ x эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке x₀ и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке x₀ равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки x₀ равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

11)Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i (b + d). Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i (ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.