![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
25.1. Функция не определена в точке х = 3 (знаменатель дроби равен нулю). Классифицируем разрыв с помощью односторонних пределов:
.
Значит, функция в точке х = 3 терпит бесконечный разрыв и через эту точку проходит вертикальная асимптота х = 3. Найдём наклонную асимптоту, используя соотношения (21)
.
Получили горизонтальную асимптоту у = 1. Строим график функции, подсчитав ориентировочную точку (6,2) (см рис. 26).
25.2. Функция разрывна в точке х = 2.
Вычисляем односторонние пределы:
.
Значит, х = 2 – уравнение вертикальной асимптоты. Ищем уравнение наклонной асимптоты в виде у = k х + b:
Уравнение асимптоты (см. рис.
8)Общая схема исследования функций и построение графика
Чтобы построить график функции, рекомендуется исследовать ее по следующей схеме:
1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;
2) найти асимптоты графика функции;
3) проверить симметрию графика, периодичность;
4) найти интервалы монотонности, экстремумы;
5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;
6) найти точки пересечения с осями координат;
7) провести в случае необходимости исследование на концах области определения;
8) построить график функции.
Замечание. В п. 3 проверяется симметрия графика относительно оси OY, которая имеет место в случае четной функции
или симметрия относительно начала координат для нечетной функции
Пример:
1) -т.р.;
2) находим — вертикальная асимптота.
Для асимптоты у = kх + b:
т.е. наклонной асимптоты нет;
3) график симметрией, периодичностью не обладает;
4) находим при
— подозрительная на экстремум,
в точках, которые не входят в
Имеем таблицу:
(Поскольку на то
на
на
и
5) находим у " = О при ln х = 2
x =
— по-
дозрительная на перегиб, в точках, которые не входят в
Составим таблицу:
(Поскольку на то
на
на
6) точек пересечения с осями координат нет;
7) исследуем поведение функции при х 0:
8) строим график функции (рис.10.16)
9)Механический смысл первой и второй производной
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ t равна скорости точки в данный момент времени: S't=V. Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α. Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V. Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:
|
10)Дифференциал функции
Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности X0 функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x 0 + Δ x эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
![]() |
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке x0 равна 1, то есть
Поэтому пишут:
Приближенное значение функции вблизи точки x0 равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
![]() |
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
![]() |
Модель 3.3. Дифференциал функции |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.
11)Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
| |||||
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.
Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,
![]() |
![]() |
Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что
, а именно
В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:
![]() |
Таким образом,
|
С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
![]() |
то есть как раз получается нужная формула.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!