![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
sinx =2 tgx 21+ tg 2 x 2 x
=
+2
n
n
Z;
cosx =1+ tg 2 x 21− tg 2 x 2 x
=
+2
n
n
Z;
tgx =2 tgx 21− tg 2 x 2 x
=
+2
n
n
Z
x
=2
+
n
n
Z;
ctgx =2 tgx 21− tg 2 x 2 x
=
n
n
Z
x
=
+2
n
n
Z.
21)Интегрирование некоторых иррациональностей
Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Примеры решения задач курс лекций Первообразная функцияИнтегральное исчисление.
Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже
=
Дифуры Математика лекции примеры решения задач
Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.
2. Подстановки Эйлера
a) a>0,
В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда
-рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид
=R1(t)-рациональная функция от t. Кроме того dx=R2(t)dt.
b) Корни x1,x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда ax2+bx+c =a(x - x1)(x - x2). Математика лекции и примеры решения задач Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).
Если x1 = x2, то =
|x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают
и задача сводится к ранее рассмотренной
.
В этом случае можно так же сделать замену .
c) c>0
. В этом случае
ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2
t,
- рациональная функция. После замены получим
=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.
Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи (если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c<0 для всех x).
Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых переменных х и у называется множество всех точек Р(х;у;f(x,y)) пространства Oxyz
22)Циклические интегралы
23)Определенный интеграл и его свойства
Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
Определенный интеграл обозначается символом . Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:
Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.
Теорема 1. Если f (x) и g (x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [ a, b ], то
т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f (x) + g (x), очевидно, будем иметь
после чего остается перейти к пределу при λ → 0.
Аналогично доказывается
Теорема 2. Если f (x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Теорема 3. Пусть f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [ a, c ] и [ c, b ], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.
В самом деле, будем при раздроблении промежутка [ a, b ] на части включать c в число точек деления. Если c = xm, то
Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [ a, b ], [ a, c ] и [ c, b ]. Остается перейти к пределу при λ → 0.
Геометрический смысл определенного интеграла. Если f (x) непрерывна и положительна на [ a, b ], то интеграл
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (см. рис. 5.).
Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f (x), заданная на промежутке [ a, b ], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z 1, z 2,..., zN. Составим для f (x) интегральную сумму σ.
Пусть из точек ξ 0, ξ 1,..., ξn -1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f (zi) | (i = 1, 2,..., N) есть K, то, очевидно,
| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,
откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл
существует и равен нулю.
Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ (x) задана на промежутке [0, 1] так:
Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл
не существует.
В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.
24)Теорема о среднем значении
Теорема 5. Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка
, что
(14)
В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f (x) на промежутке [ a, b ]. Составим для f (x) какую-нибудь интегральную сумму
Так как при всех k будет m ≤ f (ξk) ≤ M, а xk +1 > xk, то m (xk +1 - xk) ≤ M (xk +1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что
получим:
m (b - a) ≤ σ ≤ M (b - a).
Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству
Таким образом, частное
есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [ a, b ] обязательно существует такая точка ξ, что h = f (ξ), а это равносильно равенству (14).
Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.
Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.
25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.
Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .
Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:
Доказательство. По определению производной
где
[первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]=
[по теореме о среднем]=
где
Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при
. Таким образом,
Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции
.
26) Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции
, то
Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции
. Но
– также первообразная для
, а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:
![]() | (4) |
Это равенство справедливо для любых . Положим
:
Но
, поэтому
,
. Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим
Переобозначив переменную интегрирования
, получим формулу Ньютона – Лейбница:
При вычислении определенных интегралов будем записывать:
Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком
оси Ox).
Пример2.
27)формула интегрирования по частям для определенного интеграла
Пример 1.
Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).
Пример 2.
Здесь применена подстановка x = R sin t, и формула (22) прочитывается справа налево. Дальнейшее вычисление просто:
и окончательно
Теорема 2. Если u (x) и v (x) - две функции, заданные на промежутке [ a, b ] и имеющие там непрерывные производные, то
(24)
Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.
Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то
откуда и следует (24).
28)Параметрические уравнения окружности
29)Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).
Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и
(см. рис.). Угол
при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число
называется первой координатой, или полярным углом точки М (
называются также амплитудой).
Символ М(;
) обозначает, что точка М имеет полярные координаты
и
.
Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида
, где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам
, называется главным.
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
,
.
В этом же случае формулы
,
являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих
систем одинаковыми.
Уравнение кардиоиды
Кардиоида – плоская кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без проскальзывания извне по другой, неподвижной, окружности того же радиуса – см. рис.
Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так:
r = (1 + cos j)
Уравнение окружности
Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R).
Уравнение трёхлепестковой розы
r = sin 3j
r = cos 3j
Уравнение четырехлипестковой розы
30)Площадь плоской фигуры в декартовых координатах и параметрической форме
В декартовых
а) Допустим, что фигураD предполагает наличие границы
D является криволинейной трапецией и , при условии, что
на
Если D находится ниже оси (рис. 18.1), то
Рис. 18.1
Пример:
(рис. 18.1, б).
б) Предположим, что для фигуры D харакерно наличие границы Площадь
(рис. 18.2, а),
Рис. 18.2
соответственно получаем формулу
В общем случае площадь находится с помощью формулы
31) Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 532 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!