Решение. Универсальная тригонометрическая подстановка

.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

sinx =2 tgx 21+ tg 2 x 2 x = +2 n n Z;

cosx =1+ tg 2 x 21− tg 2 x 2 x = +2 n n Z;

tgx =2 tgx 21− tg 2 x 2 x = +2 n n Z x =2 + n n Z;

ctgx =2 tgx 21− tg 2 x 2 x = n n Z x = +2 n n Z.

21)Интегрирование некоторых иррациональностей

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Примеры решения задач курс лекций Первообразная функцияИнтегральное исчисление.

Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже

= Дифуры Математика лекции примеры решения задач

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.

2. Подстановки Эйлера

a) a>0,

В этом случае ax2+bx+c=ax2+2 xt+t2, откуда -рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R1(t)-рациональная функция от t. Кроме того dx=R2(t)dt.

b) Корни x1,x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда ax2+bx+c =a(x - x1)(x - x2). Математика лекции и примеры решения задач Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Если x1 = x2, то = |x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной

.

В этом случае можно так же сделать замену .

c) c>0

. В этом случае

ax2+bx+c= x2t2+2 xt+ с, ax+b= xt2 +2 t, - рациональная функция. После замены получим

=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.

Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи (если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c<0 для всех x).

Множество D называют областью определения функции, переменные х и у- независимыми переменными или аргументами, переменную z - зависимой переменной (или функцией). Множество всех значений, которые принимает переменная z, называют областью значении функции. Функция двух переменных, так же как и функция одной переменной, может быть задана различными способами: явно, неявно, параметрически и др. Мы будем рассматривать в основном функции, заданные явно с помощью формулы z = f(x,y). Таким образом, областью определения функции двух переменных z =f(x, у) является некоторое множество точек М(х; у) плоскости Оху. Определение. Графиком функции z = f(x,y) двух независимых пе­ременных х и у называется множество всех точек Р(х;у;f(x,y)) пространства Oxyz

22)Циклические интегралы

23)Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл обозначается символом . Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

Теорема 1. Если f (x) и g (x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [ a, b ], то

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

В самом деле, составляя интегральную сумму для функции f (x) + g (x), очевидно, будем иметь

после чего остается перейти к пределу при λ → 0.

Аналогично доказывается

Теорема 2. Если f (x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [ a, c ] и [ c, b ], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

В самом деле, будем при раздроблении промежутка [ a, b ] на части включать c в число точек деления. Если c = x_m, то

Каждая из написанных здесь трех сумм является интегральной суммой соответственно для промежутков [ a, b ], [ a, c ] и [ c, b ]. Остается перейти к пределу при λ → 0.

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f (x) непрерывна и положительна на [ a, b ], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x) (см. рис. 5.).

Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f (x), заданная на промежутке [ a, b ], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z ₁, z ₂,..., z_N. Составим для f (x) интегральную сумму σ.

Пусть из точек ξ ₀, ξ ₁,..., ξ_{n -1}, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f (z_i) | (i = 1, 2,..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ (x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

24)Теорема о среднем значении

Теорема 5. Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f (x) на промежутке [ a, b ]. Составим для f (x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f (ξ_k) ≤ M, а x_{k +1} > x_k, то m (x_{k +1} - x_k) ≤ M (x_{k +1} - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m (b - a) ≤ σ ≤ M (b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [ a, b ] обязательно существует такая точка ξ, что h = f (ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Теорему 5 обычно называют теоремой о среднем значении. Из нее вытекает ряд свойств интеграла, выражающихся неравенствами.

25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу

Если в определенном интеграле изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x: .

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:

Доказательство. По определению производной

где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где

Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом,

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции .

26) Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox).

Пример2.

27)формула интегрирования по частям для определенного интеграла

Пример 1.

Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).

Пример 2.

Здесь применена подстановка x = R sin t, и формула (22) прочитывается справа налево. Дальнейшее вычисление просто:

и окончательно

Теорема 2. Если u (x) и v (x) - две функции, заданные на промежутке [ a, b ] и имеющие там непрерывные производные, то

(24)

Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

Доказательство очень просто. Именно,

Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует (24).

28)Параметрические уравнения окружности

29)Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

,

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих

систем одинаковыми.

Уравнение кардиоиды

Кардиоида – плоская кривая, описываемая произвольной точкой М окружности радиуса r, катящейся без проскальзывания извне по другой, неподвижной, окружности того же радиуса – см. рис.

Параметрические уравнения кардиоиды могут выглядеть так:
r = (1 + cos j)

Уравнение окружности

Уравнение окружности ω (A; R) имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = R2, где a и b – координаты центра A окружности ω (A; R).

Уравнение трёхлепестковой розы

r = sin 3j

r = cos 3j

Уравнение четырехлипестковой розы

30)Площадь плоской фигуры в декартовых координатах и параметрической форме

В декартовых

а) Допустим, что фигураD предполагает наличие границы

D является криволинейной трапецией и , при условии, что на

Если D находится ниже оси (рис. 18.1), то

Рис. 18.1

Пример:

(рис. 18.1, б).

б) Предположим, что для фигуры D харакерно наличие границы Площадь (рис. 18.2, а),

Рис. 18.2

соответственно получаем формулу

В общем случае площадь находится с помощью формулы

31) Площадь криволинейного сектора в полярных координатах