Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением

где - неотрицательная и непрерывная на отрезке функция. Тогда плоскую фигуру G, огранич2енную кривой Г и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с полярной осью углы и (рис 3), назовем криволинейным сектором.

Утверждение 2. Криволинейный сектор G – квадрируемая фигура, площадь которой S выражается формулой

32)Длина дуги в декартовых координатах

Длина дуги в прямоугольной системе координат

О: Под длиной дуги кривой понимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.

Допустим, что кривая определена уравнением , при этом представлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на . Разделим ее на частей посредством точек с абсциссами и проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее -го звена

Здесь L, составляет Из определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции , то

Пример: Найти длину дуги окружности , если (рис. 18.9, б).

18.3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме

Предположим, что уравнение кривой L определено в параметрической форме: , здесь функции являются непрерывно дифференцируемыми на , при этом на . В этом случае

Пример: Вычислить длину окружности, определенной параметрическими уравнениями при

18.3.3. Длина дуги в полярных координатахДопустим, что уравнение кривой L в полярных координатах , при этом функция является непрерывно дифференцируемой на . С помощью формул перехода от полярных координат к декартовым и рассматривая в качестве параметра угол , запишем параметрические уравнения кривой В этом случае

Пример: Определить длину дуги логарифмической спирали (рис. 18.10).

33)Объем и поверхность вращения

34)Применение определенного интеграла к решения физических задач

Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F=f(x), где f(x) есть непрерывная функция от х – координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от a до b равна

где a=x₀<x₁<…<x_n=b,?x_j=x_j+1-x_j

в силу непрерывности функции f(x) произведение близко к истинной работе на отрезке [x_j; x_j+1], а сумма таких произведений близка к истинной работе на отрезке [a; b], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из всех?x_j.

№ 4.

К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила F=2х-1, где х – координата движущейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точки от 0 до 3. (слайд 17)

Решение:

2. Масса стержня переменной плотности (слайд 18)

Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью , где - непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка , где a=x₀<x₁<…<x_n=b,?x_j=x_j+1-x_j

№ 5. Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность задаётся функцией (слайд 19)

Решение:

35)Несобственные интегралы первого и второго рода

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл dx расходится.

Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) 2) 3)

Решение:

1) интеграл сходится;

2) интеграл расходится, так как при а→-∞ предел не существует.

3)интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(х), то из сходимости

интеграла следует сходимость интеграла а из расходимо-

сти интеграла следует расходимость интеграла

36)Определение функций нескольких переменных

Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) является множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f (x, y).

Так, например, (рис. 1.1) графиком функции

является верхняя половина сферы, а графиком функции

- нижняя половина сферы.

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.

Предел

Предел функции. ЧислоL называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к a:

если для любого > 0 найдётся такое положительное число = (), зависящее от , что из условия | x - a | < следует | f (x) – L | < .

Это определение означает, что L есть предел функции y = f (x), если значение функции неограниченно приближается к L, когда значение аргумента x приближается к a.

Непрерывность

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

функция не определена в данной точке.

Частные производные функции нескольких переменных

Пусть М(х₁, х₂,..., х_m) внутренняя точка области определения функции u=f(x₁,..., x_m). Пусть x_k - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

x_ku f(x₁,..., x_k-1, x_k + x_k, x_k+1,..., x_m) - f(x₁,..., x_m).

Рассмотрим отношение , которое зависит от x_k и определено при всех достаточно малых x_k, отличных от нуля.

Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x₁,..., x_m) в т. М(x₁,..., x_m) по аргументу x_k и обозначается одним из символов: . Таким образом, .

Замечание. Так как изменяется только x_k + x_k, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

Пример 1. u = x² + 3xy - y

вычисляем при условии, что y = const

вычисляем при условии, что x = const

37)Производные высших порядков

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

Пример.

Очень удобно пользоваться также обозначением

,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x), называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

Вообще n -я производная или производная n -го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Теорема Шварца

Поверхностный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Если функция двух переменных f(x,y) имеет в точке (x0,y0) непрерывные частные производные 2-ого порядка , то эти смешанные частные производные совпадают.

1*) Докажем Теорему 1. Используем формулы Лагранжа 2-ой раз.

теорема доказана.

38)Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных

Полным приращением функции двух переменных в точке называется выражение .

Предположим, что в точке и некоторой ее окрестности функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка и . Выразим через них полное приращение :

(1)
где заключено между и , заключено между и , рис. 11.

Так как по предположению частные производные непрерывны, то:

Û

(по связи функции, её предела и бесконечно малой), где g₁ и g₂ – бесконечно малые при Dх®0 и Dу®0, то есть при .

Таким образом, полное приращение функции выразилось следующим

образом:

(2)

Каждое из слагаемых ΙΙ является б.м. более высокого порядка малости относительно . Действительно,

Þ при .

Аналогично Þ + при .

Ι слагаемое – линейное относительно Dx и Dy, оно является главной частью полного приращения Dz.

Функция z = f (x,y), полное приращение D z которой в данной точке (x;y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительноD x и D y, и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , называется дифференцируемой ФНП в данной точке; главная часть ее полного приращения, линейная по приращениям аргументов, называется полным дифференциалом ФНП:

39)Дифференцирование композиции функции нескольких переменных

Приращение функции

Функция, дифференцируемая в точке

при

В этом случае дифференциал функции в точке:

- частные производные, вычисленные в точке
Дифференцирование композиции

1.

Если то

2.

Если

Однородная функция степени k

40)Дифференцирование неявных функций и функций заданных параметрически

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

<< Пример 21.1

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у'_х.

Решение: Имеем x'_t=3t², y'_t=2t. Следовательно, у'_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е.

41)Производная по направлению

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

42)Градиент

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

, , .

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Свойства

Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.

Градиент ⊥ линиям уровня.

43) Локальный мах и мин

Свойства дифференцируемых функций

Локальный максимум и локальный минимум функции.

Дадим определение локального максимума и локального минимума функции.

Говорят, что функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой значение является наибольшим (наименьшим) среди всех значений функции в этой окрестности, то есть всюду в этой окрестности выполняется условие ().

Для обозначения локального максимума и локального минимума функции употребляется единое название локальный экстремум.

Следующая теорема устанавливает необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Теорема 17.1 (называется иногда теоремой Ферма). Если функция f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Так как функция f(x) имеет в точке c локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, в силу теоремы 16.1 производная не может быть ни положительна, ни отрицательна, то есть .

Теорема доказана.

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что если в точке локального экстремума график функции имеет касательную, то эта касательная параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Отметим, что равенство нулю производной является необходимым, но не достаточным условием локального экстремума. Рассмотрим в качестве примера функцию (рис.6).

Производная этой функции . В точке . Однако функция возрастает на всей числовой оси и не имеет в точке локального экстремума.

Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Уравнения касательной и нормали. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций. Функция, заданная параметрически. Дифференцирование функций, заданных параметричски.

Необходимое условие экстремума

Необходимое условие экстремума

Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области:, выполнено соответственно неравенство