Пример 1. Записать число в тригонометрической форме

Записать число в тригонометрической форме.

Решение

Найдём модуль этого числа: Аргумент данного числа находится из системы Значит, один из аргументов числа равен Получаем: Ответ.

Модуль комплексного числа

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, а также буквой r. Из чертежа (фиг. 5) видно, что

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа а + bi и a - bi имеют один и тот же модуль.

Аргумент

Угол φ между осью абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число а + bi, называется аргументом комплексного числа а + bi. На фиг. 6 вектор OM изображает комплексное число -3 -3i. Угол являемся аргументом этого комплексного числа. Каждое не равное нулю комплексное число* имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся от друга на целое число полных оборотов (т. е. на 360°k где k — любое целое число).
Так, аргументами комплексного числа – 3 – 3i являются все углы вида 225° ± 360°k, например 225° + 360° = 585°, 225° - 360° = - 135°.
Аргумент φ связан с координатами комплексного числа а + bi следующими формулами (фиг. 5):

Однако ни одна из них в отдельности не позволяет найти аргумент по абсциссе и ординате (см. примеры).
Пример 1.Найти аргумент комплексного числа - 3 – 3i.
По формуле (2)tgφ = -3/-3 = 1. Этому условию удовлетворяют как угол 45˚, так и угол 225˚. Но угол 45˚ не является аргументом числа - 3 – 3i. (фиг. 6). Правильный ответ будет φ = 225˚ (или —135˚, или 585˚ т. д.). Этот результат получится если учесть, что абсцисса и ордината данного комплексного числа отрицательны. Значит, точка M лежит в третьей четверти.
Другой способ. По формуле (3) находим Формула (4) показывает, что sin φ тоже отрицателен. Значит, угол φ принадлежит третьей четверти, так что φ = 225˚ ± 360˚k.

Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

13) Показательная форма комплексного числа

Рассмотрим тригонометрическую форму комплексного числа ::

.

(1)

Используя формулу Эйлера, преобразуем правую часть равенства (1):

(2)

Запись вида (2) называется показательной формой комплексного числа.

Формула Эйлера

Существует также показательная форма комплексного числа связанная с тригонометрической по формуле Эйлера:

.

(9)

Данное соотношение легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

.

(10)

Представим ряд в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

.

(11)

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Выражение (1) задало , тогда , в свою очередь . Таким образом можно рекурентно записать:

.

(12)

Построим аналогичным облразом рекурентное соотношение для нечетных степеней: тогда , в свою очередь , получим:

.

(13)

Таким образом выражение (11) с учетом (12) и (13) принимает вид:

.

(14)

В выражении (14) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции косинуса, а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции синуса. Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (9). Используя формулу Эйлера можно сделать ряд важных замечаний: Замечание 1:

.

(15)

Замечание 2:

.

14)Первообразная

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого

Так, функция является первообразной функции в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x ₀; y ₀), удовлетворяющую уравнению y = F (x).

Теоремы первообразных

Т.1: (теорема существования) Любая непрерывная на X функция имеет первообразную F(x) на X:

Функция на X может иметь бесконечно много первообразных. Так, для первообразной является F(x) =

Т.2: Если F(x) и — две первообразные для (х) на X, то

разность между ними равна постоянной Обозначим тогда

Пусть Применим теорему Лаг-

ранжа для на

откуда на X

15)Неопределенный интеграл

для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

Основные свойства

1.

2.

3. Если то

4.

Замена переменных в неопределенном интеграле

1.

2. Если - первообразная для то

16)Таблица основных интегралов

17)Интегрирование методом подстановки

Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл не являяется табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному.
Метод подстановки основан на применении следующей формулы:

где x= j (t) - дифференцируемая функция от t, производная которой j '(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.
Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле x= j (t) и, следовательно, dx произведением j '(t)dt.
Приведем доказательство этой формулы. Продифференцировав левую часть форммулы, имеем

Продифференцировав правую часть форммулы, имеем

Таким образом формула справедлива.
Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка t= j '(x), dt= j '(x)dx
Пример: Необходимо найти интеграл

Применим подстановку: u=arctg(x), тогда

Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:

Теперь подставив значение u в полученное выражение получим решение искомого интеграла:

Замена переменной

1. Неопределенный интеграл. Один из способов интегрирования – метод замены переменной – реализуется с помощью формулы

здесь переменная интегрирования х была заменена на новую переменную, t, с помощью (непрерывно дифференцируемой) функции
х = φ (t). (*)

Пример

На практике часто удобнее не выражать старую переменную через новую, а, наоборот, обозначить некоторую функцию g от переменной х за новую переменную, т.е. ввести функцию
t = g (x). (**)

Тогда вместо получающейся из равенства (*) формулы dx = , дифференцируют равенство (**) и выражают из него dx.

Пример

Вычислим Сделаем замену переменной –3 х ² + 4 = t. Дифференцируя это равенство (т.е. находя дифференциал функции t (x)), получим:
–6 хdx = dt, откуда Подставляя найденные выражения в интеграл, находим:
где С – произвольная постоянная. Это и есть ответ.

18) Формула интегрирования по частям

Для интегрирования некоторых функций применяют формулу:
.
Для правильного применения этой формулы необходимо чётко понимать, что в выражение есть
, а что есть , и какая выгода получается от применения этой формулы.
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы:
Пример 1.
Вычислить неопределенный интеграл

Решение:
Для наглядности можно написать одно над другим:

Невооруженным глазом видно, что для применения формулы нужно принять такие обозначения:
.
Воспользуемся формулой интегрирования по частям (в записи много пробелов для того, чтобы каждая часть второй строки стояла четко под соответствующей частью первой строки):

Все. Формулу применили. Дальше используются уже изученные методы интегрирования. В частности, вынесение логарифма из-под знака дифференциала


Ответ:

19) Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

		остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q –числа,

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ; ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]=

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30

20) Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида . Если хотя бы одно из чисел или - нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Пример 14. Найти .

Решение. Имеем

Если и - четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

; ; .

Пример 15. Найти .