Ответ №26

Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'_x(х₀;у₀)=0, ƒ'_y(х₀;у₀)=0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у₀. Тогда получим функцию ƒ(х;у₀)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х₀) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

Аналогично можно показать, что ƒ'_y(х₀;у₀) = 0.

Геометрически равенства ƒ'_x(х₀;у₀)=0 и ƒ'_y(х₀;у₀)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z₀ (см. формулу (45.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'_x=0, f'_y=0, называется стационарной точкойфунк ции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'_x=у и z'_y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (х_о;у_о) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения A=f''_xx(x₀;y₀), В=ƒ''_xy(х₀;у₀), С=ƒ''_уy(х₀;у₀). Обозначим

Тогда:

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х₀;у₀) экстремума не имеет.

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х₀;у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.

Пример 46.1. Найти экстремум функции z = 3х²у- х³ - у⁴.

Решение: Здесь z'_x=бху-3х², z'_y=3х²-4у³. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точки M₁(6;3) и М₂(0;0).

Находим частные производные второго порядка данной функции: z''_xх=6у-6х, z''_xу=6х, z''_уy=-12у₂.

В точке М₁(6;3) имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда

АС-В²=-18•(-108)-362=648, т. е. Δ>0.

Так как А<0, то в точке М₁ функция имеет локальный максимум: z_max=z(6;3)=3•36•3-63-34=324-216-81=27.

В точке М₂(0;0): А =0, В = 0, С = 0 и, значит, Δ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М₂ равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-у⁴<0 при х=0, у ≠ 0; z =-х³>0 при х<0, у=0. Значит, в окрестности точки М₂(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ функция экстремума не имеет.