Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

Рекомендуется предварительно ознакомиться с п. 5.2.5 из пособия [5].

Алгоритм метода следующий:

1) находим фундаментальную систему решений y1,y2,...,ynсоответствующего однородного уравнения;

2) ищем решение неоднородного уравнения в виде

y(x)=C1(x)y1+C2(x)y2+...+Cn(x)yn=∑j=1nCj(x)yj,

где C1(x),C2(x),...,Cn(x)–функции, подлежащие определению; для нахождения функций C′j(x)составляем систему алгебраических уравнений

{∑j=1nC′j(x)yj=0,                                 ∑j=1nC′j(x)y′j=0,                                  ................................∑j=1nC′j(x)yj(n−1)=b(x)an(x),   an(x)≠0.

Для n=2, то есть для уравнения второго порядка, эта система уравнений приобретает вид

{C′1y1+C′2y2=0,           C′1y′1+C′2y′2=b(x)a2(x),

а для n=3система записывается в виде

{C′1y1+C′2y2+C′3y3=0,           C′1y′1+C′2y′2+C′3y′3=0,           C′1y″1+C′2y″2+C′3y″3=b(x)a3(x).

Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

12.4 Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части ƒ(х) уравнения (5.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (5.10) имеет вид где а є R, Р_n(х) - многочлен степени n. Уравнение (5.10) запишется в виде

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

где r - число, равное кратности а как корня характеристического уравнения (т.е. r - число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами А_i (i=l,2,...,n).

а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения т. е. Следовательно,

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), сокращения на , получим:

Слева - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа - многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (n+1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов А_о, А₁,..., А_n.

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

В этом случае искать решение в форме нельзя, т. к. и уравнение (5.13) принимает вид

В левой части - многочлен степени (n-1), в правой части - многочлен степени n. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (n+1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде (в равенстве (5.12) положить r=1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического уравнения k²+рк+q=0, т. е. а=k₁=k₂. В этом случае а²+ра+q=0 и 2а+р=0, а поэтомy уравнение (5.13) принимает вид

Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, чтобы иметь слева многочлен степени n, частное решение у* следует искать в виде

(в равенстве (5.12) положить r=2).

Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид

где Р_n(х) и Q_m(x) - многочлены степени n и m соответственно, а и β - действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14) следует искать в виде

где r - число, равное кратности а+βi как корня характеристического уравнения - многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов Р_n(х) и

Замечания.

1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда

3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении решений.

12.2