Теорема. Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие

Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом функции .

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид , где - произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию нужно воспользоваться равенствами

. (2)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:

, (3)

где - произвольная дифференцируемая функция. Функция , такая что . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения :

.

11.7

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида где a (x) и b (x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений: Использование интегрирующего множителя; Метод вариации постоянной. Использование интегрирующего множителя Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: то интегрирующий множитель определяется формулой: Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u (x) преобразует ее в производную произведения y (x) u (x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: где C − произвольная постоянная. Метод вариации постоянной Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C (x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C (x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Задача Коши Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y (x 0) = y 0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y (x 0) = y 0.

Неменее трех вариантов дифференциального уравнения с методом понижения его порядка

Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение -го порядка

(1)

к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию , т. е. уравнение имеет вид

. (2)

Введем новую функцию , тогда и уравнение (2) перепишется так:

, (3)

т. е. относительно функции оно представляет собой уравнение -го порядка.

Любое решение , этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение и решить последнее относительно :

.

Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций

,

зависящих от параметров . Ему соответствует семейство решений дифференциального уравнения (2)

,

зависящих от параметров .

Пример 1. .

Здесь функция явно не входит в уравнение. Полагая , находим и наше уравнение принимает вид . Разделяя переменные, имеем

,

т.е.

.

Но , значит, .

II. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно независимую переменную :

. (4)

Будем считать в этом уравнении независимым переменным, а - искомой функцией. Обозначим .

Тогда

Подставляя эти значения в (4), получим дифференциальное уравнение - го порядка относительно . Пусть , есть решение этого дифференциального уравнения, отличное от нуля на . Так как , то

.

Мы получили решение исходного уравнения (4) в неявной форме. При этом оно зависит от произвольной постоянной .

Но часто функции получаются в виде семейств функций

,

зависящих от параметров . Им соответствующие решения в свою очередь образуют семейство

функций, зависящих от параметров .

Пример 2. .

Здесь явно не присутствует, поэтому полагаем . Подставляя эти значения в уравнение, имеем или .

Отсюда и .

Если , то .

Если , то, разделяя переменные, получаем

III. Левая часть уравнения (1) - однородная функция степени относительно переменных , т. е.

.

Для понижения порядка вводим новую функцию по формуле

.

Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

или в силу однородности функции

.

Так как , то отсюда получаем дифференциальное уравнение - го порядка

.

Пусть есть решение этого уравнения. Так как , то

,

где - произвольная постоянная. И если оказалось, что

,

то

,

где - произвольные постоянные.

Пример 3. Решим этим методом уравнение предыдущего примера.

Функция - однородная функция второй степени по отношению . Функция - решение уравнения. Будем считать, что . Полагая , имеем . Подставляя эти значения в уравнение, получаем

.

Отсюда . Функция - решение данного уравнения (тогда - решение исходного уравнения). Пусть , тогда

- общее решение. Отметим, что решение получается из общего при .

11.9 Линейные дифференциальные уравнения второго и высшего порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
, где и – константы, а – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:
вместо второй производной записываем ;
вместо первой производной записываем просто «лямбду»;
вместо функции ничего не записываем.

– это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий.
Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будет использовать готовые формулы.