Определение ряда фурье и его коэффициентов для функций с периодом 2пи

Ряд Фурье для функции с периодом 2 l.

Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

х = lt / π.

Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π:

где (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо)

Возвратимся к старой переменной x:

Тогда будем иметь:

(24)

Формула (23) получит вид

, (25)

где коэффициенты a_0, a_k, b_k вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке [- l, l ] задается равенством ƒ(x) = | x |.

(Пискунов, стр. 342, рис. 383)

Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид