Преобразование фурье

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям интегральной теоремы Дирихле и является четной функцией, тогда коэффициент в (16) . Представим интеграл Фурье (15) в виде:

(19)

(20)

Функция F(), определенная формулой (19), называется косинусом -преобразованием Фурье для f(x).

Формула (20) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F (a) находить f(x).

Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a) = 0, тогда формулы (21) и (22) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье

(21)

(22)

Пусть функция f(x) представима интегралом Фурье в комплексной форме (17), а коэффициент С(a), определенный формулой (18) называется спектральной функцией. Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде

(23)

то функция S(a) также называется спектральной и S (a) = 2p C (a).

Преобразованием Фурье называется функция определенная формулой (24)

, (24)

а функция f(x), определенная формулой (25) называется обратным преобразованием Фурье

. (25)

Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем

( также называется спектральной функцией).

Если функция f(x) – оригинал с показателем роста , то функция g(x), определенная формулой , где называется затухающим оригиналом. Тогда для функции g(x) существует и преобразование Фурье и преобразование Лапласа и они связаны между собой формулой

. (26)