Статистические оценки параметров распределения. Чтобы изучить некий признак генеральной совокупности, необходимо знать распределение, которое имеет этот признак

Чтобы изучить некий признак генеральной совокупности, необходимо знать распределение, которое имеет этот признак, следовательно, нужно оценить параметры распределения. Оценкой параметра распределения генеральной совокупности называется численное значение неизвестного параметра , определенное по конечной выборке . Статистические оценки должны удовлетворять трем требованиям: несмещенность, эффективность, состоятельность.

1. Оценка по выборке объема генеральной совокупности называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению параметра .

2. Несмещенная оценка по выборке объема генеральной совокупности называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди несмещенных оценок параметра .

3. Оценка по выборке объема генеральной совокупности называется состоятельной, если вероятность значительного отклонения от параметра стремится к нулю при .

Для выборки объема из генеральной совокупности оценкой математического ожидания случайной величины является выборочная средняя

.

Используя данные статистического ряда выборки, выборочную среднюю удобнее рассчитывать по формуле

,

где – число разрядов. Оценкой дисперсии случайной величины служит выборочная дисперсия

.

Тогда выборочное среднеквадратическое отклонение является оценкой среднеквадратического отклонения. Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, поэтому для небольшого объема выборки () ее исправляют с тем, чтобы получить несмещенную оценку

,

которая называется исправленной выборочной дисперсией, соответственно – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.

В математической статистике важную роль играют оценки начальных и центральных моментов. Напомним, что теоретическим начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины

.

В частности, и , где и – математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Эмпирический начальный момент порядка определяется по формуле

.

Аналогично и .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины

.

В частности, . Эмпирический центральный момент порядка определяется по формуле

.

Аналогично .

Центральный момент третьего порядка служит для характеристики скошенности распределения. Для этого вводится коэффициент асимметрии случайной величины

.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю (например, для нормального и равномерного закона). Оценкой асимметрии служит асимметрия эмпирического распределения

.

Центральный момент четвертого порядка служит для характеристики островершинности распределения. Для этого вводится эксцесс случайной величины

.

Для нормального закона эксцесс равен нулю. Его оценкой служит эксцесс эмпирического распределения

.

Начальные и центральные моменты как теоретические так и эмпирические, связаны следующими соотношениями:

,

,

.

Моменты более высокого порядка применяются редко.

Характеристикой показательного распределения является коэффициент вариации, вычисляемый по формуле

,

который равен единице. Его оценкой является выборочный коэффициент вариации

.