Д.и. для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Пусть с.в. X ~ N (a,s²), причем при неизвестном требуется оценить параметр . Вычислим по выборочное среднее и рассмотрим точечную оценку дисперсии . В качестве оценки неизвестного среднего квадратического отклонения возьмем . Используя заданную доверительную вероятность , найдем такое число e>0, чтобы выполнялось равенство .

Рассмотрим с.в. , которая имеет -распределение с степенями свободы. Найдем для заданных и такое число , при котором верно равенство

.

Выполним следующие тождественные преобразования:

.

Таким образом,

(15)

или .

Существуют таблицы для распределения «хи-квадрат» (приложение 7), из которых можно найти по заданным п и γ, не решая уравнения (15). Таким образом, вычислив по выборке значение и определив по таблице значение , можно найти доверительный интервал (15), в который значение σ попадает с заданной вероятностью γ.

Следовательно, . Итак, с вероятностью можно утверждать, что интервал

(16)

накроет неизвестное среднее квадратическое отклонение . С такой же вероятностью можно утверждать, что интервал

(17)

накроет неизвестную дисперсию .

Замечание. Если q_g > 1, то с учетом условия σ > 0 д.и. для будет иметь границы , то есть .

Пример 16. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Найти с доверительной вероятностью = 0,95 границы доверительного интервала для дисперсии.

Решение. Объем выборки п = 20. В этом примере значение M X неизвестно. Найдем = 4,25, = 1,41. По таблицам (приложение 7) по n =20, g =0,95 определим q_g = q _0,95= 0,37. Тогда, по формулам (16)-(17) найдём д.и. для дисперсии при неизвестном математическом ожидании:

.

Пример 17. По выборке объема n = 10 найдено = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

Решение. По таблице из приложения 7 определяем q_g по n =10, g =0,999. Имеем q_g =1,8>1. Согласно замечанию после формулы (17) д.и. для будет иметь границы , то есть .