Критерий Пирсона

Пусть функция непрерывна. Для проверки гипотезы поступим следующим образом. Разобьем всю область значений с.в. на непересекающихся интервалов и обозначим через число точек из выборки , попавших в . Теперь подсчитаем вероятности попадания с.в. в интервал по формуле:

.

(18)

Тогда теоретическое число значений с.в. X, попавших в интервал , можно вычислить по формуле:

.

(19)

Таким образом, получим вариационный ряд распределения и теоретический ряд распределения. Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу отвергаем, в противном случае – принимаем ее.

Для построения критерия, характеризующего степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, К.Пирсон предложил статистику

.

(20)

При эта величина имеет – распределение с степенями свободы, где — число интервалов выборки, — число параметров предполагаемого распределения. Например, в случае нормального распределения оценивают два параметра и , поэтому .

Схема применения критерия Пирсона сводится к следующему:

1. По формуле (20) вычисляем – выборочное значение статистики критерия.

2. Задав уровень значимости критерия, по таблице –распределения (приложение 4) находим критическую точку (квантиль) .

3. Если , то гипотеза не противоречит данным наблюдений; в противном случае (если ) гипотезу отвергаем.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является выполнение соотношения . Если для какой-то группы выборки оно не выполняется, такую группу объединяют с соседней и соответственно уменьшают число групп.

Пример 19. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности:

							12.

Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н ₀ и ей конкурирующую Н ₁.

Н ₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н ₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область. Проверим гипотезу, используя с.в. (20), которая имеет распределение c ² с
k = m – 3 = 7 – 3 = 4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия c ² по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:

			1,6 1,5 0,118 1,25 0,222 8,909 0,333
Итого:			13,932.

» 13,93; (0,05; 4) = 9,5 (приложение 4). Сравниваем и (0,05; 4). Так как > (0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.