Д.и. для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть теперь параметр s нормального закона распределения признака Х генеральной совокупности неизвестен. Вычислим по оценку = параметра и исправленную дисперсию , которая является точечной оценкой для дисперсии . Используя заданную доверительную вероятность , найдем такое число , чтобы выполнялось равенство .

Рассмотрим с.в. , которая не зависит от параметров и и распределена по закону Стьюдента с (n -1) степенями свободы. Определим величину как решение уравнения:

.

(12)

Выполним следующие тождественные преобразования:

.

Итак,

(13)

и . Следовательно, с вероятностью можно заключить, что выборочное среднее дает значение неизвестного математического ожидания с точностью , а доверительный интервал определяется так:

.

(14)

где t_γ можно найти по соответствующей таблице из приложения 6 при заданных п и γ.

Замечание. Полученный д.и. похож на тот, что был получен при условии известной дисперсии (см. (11)). Разница состоит в том, что неизвестное значение s заменяется во втором случае его выборочной оценкой , а числа находятся из распределения Стьюдента, вместо чисел , которые находятся из нормального распределения. Кроме того, при больших объемах выборки n ≥100 можно считать, что, практически, , а = s. В этом случае можно пользоваться (11).

Пример 15. Даны 5 наблюдений над с.в. скорости автомобилей на одном из участков шоссе (км/ч): X ₁=85,9; X ₂=89,1; X ₃=72,3; X ₄=82,5; X ₅=70,6. Требуется построить д.и. для математического ожидания a при = 0,95, когда дисперсия неизвестна. Как изменится д.и., если при тех же значениях средней скорости и выборочной дисперсии число наблюдений возрастет в 10 раз?

Решение. Объём выборки n =5. По имеющимся данным вычислим:

,

.

По таблице из приложения 6 находим t_g = t _0,95=2,78. Заметим, что (см. табл.1. из [1]), то есть . Преобразуя (14), вычислим д.и. для математического ожидания a, когда дисперсия неизвестна.:

.

Получили д.и. для скорости, которую можно ожидать на данном участке шоссе. Если число наблюдений возрастет в 10 раз (), вновь воспользуемся формулой выше для построения интервала. По таблице из приложения 6 находим, что t_g = t _0,95=2,009. Тогда .