Правила проверки

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить Н₀: “генеральная совокупность распределена нормально”, необходимо:

1. вычислить теоретические частоты;

2. вычислить наблюдаемое значение критерия:

3. по таблицам критических точек распределения χ₂ по заданному уровню значимости и числу степеней свободы v=k–3, найти критическую точку: c_кр² =(α,v);

4. сравнить 2 имеющихся критерия:

- если < c_кр² - нет основания отвергать нулевую гипотезу о нормальном распределении.

- если > c_кр² - нулевую гипотезу о нормальном распределении отвергают.

Замечание:

объем выборки должен быть достаточно велик (более 50);

малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты;

т.к. возможные ошибки первого и второго рода, то в окончательном выводе следует проявить осторожность:

можно повторить опыт;

увеличить число наблюдений;

для проверки воспользоваться другими критериями;

построить график распределения;

вычислить эксцесс и асимметрию.

для контроля вычислений формулу

преобразуем к виду

Задача на критерии согласия

Теоретические частоты;

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и2 таблицы):

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала
120-130			-36,4	-2,8	0,008
130-140			-26,4	-2,03	0,051
140-150			-16,4	-1,26	0,180
150-160			-6,4	-0,49	0,354
160-170			3,6	0,28	0,384
170-180			13,6	1,05	0,230
180-190			23,6	1,82	0,076
190-200			33,6	2,58	0,014
итого

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выровнять ряд по кривой нормального распределения и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критерия согласия: Пирсона (), Романовского и Колмогорова .

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или где - нормированные отклонения от средней, т.е. и - основные параметры кривой нормального распределения. Определяем 1) ; 2) =13.

Дальнейшие расчеты таковы:

3) находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

4) делим каждое отклонение на (графа 5);

5) зная t, по таблице приложения 1 находим (графа 6);

6) так как ряд с равными интервалами, рассчитываем постоянный множитель ;

7) умножая последовательно 154 на и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты () близки к эмпирическим , хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

1. Критерий Пирсона: . Расчет этого критерия показан в таблице:f

		-1		0,04
				0,16
		-3		0,15
		-1		0,03
				0,33

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп вариантов, следовательно и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних Примем наиболее часто используемый уровень значимости и обратимся к таблице приложения 4. По таблице находим . Так как полученное значение , т. е. меньше табличного, то можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

2. Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4<3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

1. Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова ().

Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

		Накопленные частоты
Эмпирические (S)	Теоретические

Максимальный разрыв D=2, поэтому По таблицам (см. приложение 6) находим для =0,2, что =1,000. Следовательно, вполне можно полагать, что расхождения между и носят случайный характер.

5.4 Корреляционно-регрессионный анализ

Во многих задачах требуется установить или оценить зависимость изучаемо случайной величины Y от одной или нескольких других случайных величин.

Две случайные величины могут быть связаны:

- функциональной зависимостью

- статистической

- независимой

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, т.к. обе случайных величины или одна подвержены действию других случайных величин.

Статистической называется зависимость, при которой

изменение одной из величин влечет изменение распределения

другой.

В частности она проявляется в том что изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой. Такая статистическая зависимость называется корреляционной.

5.4.1 Корреляционная зависимость

Предположим изучается связь между случайными величинами Х и Y. Пусть каждому значению Х соответствует несколько значений Y.

Условным средним называется среднее арифметическое случайной величины Y соответствующее значению случайной величины Х равное х.

Если каждому значению Х соответствует одно значение, то очевидно что она – функция от х. В этом случае говорят, что случайная величина Y зависит от Х корреляционно.

Корреляционной зависимостью Yx называют функциональную зависимость от значений х. = f(x) - уравнение регрессии Y на Х, а график – линией регрессии Y на Х. f(x) – функция регрессии.

Аналогично определяется условная средняя Х на Y: = f(y).

Две основные задачи теории корреляции:

1. Оценить тесноту (силу) корреляционной связи

2. Если связь существует, то нужно установит ее форму – вид функциональной зависимости между и величиной Х.

Для решения первой задачи существует коэффициент корреляции.