Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервал выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Рассмотрим схему исследования функций на следующем примере.

Пример 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х ₁ = –2 и х ₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х ² – 4 = 0).

2) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

3) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х ₁ = –2 и х ₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

4) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0 x + 1, т.е. у = 1.

5) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х= 0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х= 0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х= 0 – точка максимума функции и f _mах (x) = = – 1.

На интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

функция возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает у

6) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

функция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

7) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

8) На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

-2 2 х

-1