Дәріс. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар. Функцияның үзіліссіздігі

Анықтама. Егер , онда функциясы ( шамасы ға ұмтылғанда) шексіз аз шама (ш.а.ш.) деп аталады.

Анықтама. Егер болса, онда функциясы -ғы шексіз үлкен шама (ш.ү.ш.) деп атайды.

Теорема. Егер (ш.а.ш.) болса, болса, онда - функциясы -ға ш.ү.ш. болады. Бұл теорема керісінше де ақиқат.

Шектер туралы негізгі теоремалар. Егер , , болса, онда 1) ; 2) ; 3) Кез келген үшін, және болса, онда .

1-мысал. 1. . Шекті есептеу үшін х-тің мәнін қойғанда т.с.с. анықталмағандықтар пайда болады. Шекті есептеу деп осы анықталмағандықтарды ашуды айтады.

2. .

3. .

4. .

Функцияның үзіліссіздігі. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нүктесінде анықталған (яғни мәні бар);

2. ( шамасы -ге ұмтылғанда) болғанда функциясының ақырлы шегі бар;

3. шегі функцияның нүктесіндегі мәніне тең: .

1-анықтама.Егер функциясы келтірілген үш шартты қанағаттандырса, онда оны нүктесінде үзіліссіз дейді.

Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамасының формуласын былай жазуға болады: . Функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда оның графигін нүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай) болады. Үзіліссіздіктің екінші анықтама аргументіне өсімшесін берсек, функциясы өсімшесін алады. Ол формуласымен анықталады.

2-анықтама.Егер функциясы нүктесінде анықталса және теңдігі орындалса, онда ол функцияны нүктесінде үзіліссіз дейді. Үзіліссіздіктің осы екі анықтамасы өзара эквивалентті. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда бұл нүкте функциясының үзіліс нүктесі деп аталады.

Үзіліс нүктесінің екі түрі бар.

Т-1. Егер функциясың нүктесінде оң жақты және сол жақты шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда нүктесі функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

Т-2. Егер оң жақты және сол жақты шектердің ең болмағанда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда нүктесі функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

Т-3. Егер нүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса, онда нүктесі функциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

5-мысал. функциясы үшін нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі болады, себебі

Егер функциясы аралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны аралығында үзіліссіз дейді.

Егер функциясы аралығында үзіліссіз болып, ал нүктесінде оң жақтан (яғни ), ал нүктесінде сол жақтан (яғни ) үзіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде үзіліссіз дейді.

Kесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері:

1. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде ақырлы шектелген.

2. Вейерштрасс теоремасы Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде өзінің ең кіші және ең үлкен мәндерін қабылдайды.

3. Больцано-Коши теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және және , нүктелеріндегі мәндері әртүрлі таңбалар қабылдаса (), онда теңдігі орындалатындай кесіндісінің ең болмағанда бір нүктесі бар.

Бірінші және екінші тамаша шектер. Бірінші тамаша шек. Құрамында тригонометриялық функциялар бар өрнектердің шектерін есептегенде бірінші тамаша шекті қолданады: .

Дәлелдеу: Радиусы бірге тең шеңбер аламыз. , сонда:

, мұндағы

1-мысал.

2-мысал. .