ЛОДУ с постоянными коэффициентами

ЛОДУ -го порядка называется уравнение вида

где коэффициенты – некоторые действительные числа. Для нахождения частных решений уравнения (1.1) составляют характеристическое уравнение

которое получается из (1.1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями , причем сама функция заменяется на 1. Уравнение (1.2) является уравнением -й степени и имеет корней. Тогда решение ДУ (1.1) строится в зависимости от характера корней уравнения (1.2):

1) Каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида ;

2) Каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;

3) Каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;

4) Каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

ЛНОДУ

Структура общего решения ЛНОДУ, т.е. уравнения с правой частью:

определяется следующей теоремой.

Если – частное решение неоднородного уравнения, а – фундаментальная система решений соответствующего ОДУ, то общее решение ЛНОДУ имеет вид . Общее решение НОДУ равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего ОДУ. Следовательно, для построения общего решения НОДУ надо найти одно его частное решение (предполагая известным общее решение соответствующего ОДУ).

Метод вариации произвольной постоянной. Этот метод применяется для отыскания частного решения ЛНОДУ -го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего ОДУ.

Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего ОДУ. Тогда общее решение НОДУ следует искать в виде

где функции определяются из системы уравнений:

( – правая часть данного уравнения).

Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь и – постоянные, и – многочлены от соответственно -й и -й степени. Частное решение уравнения -го порядка

(где имеет указанный вид, а – действительные постоянные коэффициенты) следует искать в виде

Здесь равно показателю кратности корня в характеристическом уравнении (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то ); и – полные многочлены от степени с неопределенными коэффициентами, причем :

Многочлены должны быть полными (содержать все степени 0т нуля до ), с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степенях в обоих многочленах и если в выражение функции входит хотя бы одна из функций или , то в надо всегда вводить обе функции.

Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него вместо .

Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т.е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).

Примечание. Частными случаями функции рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения примем метод подбора частного решения) являются следующие функции:

1) , – постоянная .

2) , и – постоянные .

3) (многочлен степени ) .

4) .

5) .

6) , и – постоянные.