Линейные уравнения высших порядков. Здесь функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке

Здесь функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке . Зная одно частное решение ЛОДУ, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить порядок, а следовательно, и порядок соответствующего НОДУ на 1. Полученное уравнение -го порядка относительно также является линейным.

ЛОДУ

Общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.

Если – линейно независимые частные решения уравнения

то есть общее решение этого уравнения.

Функции называются линейно независимыми в промежутке , если они не связаны никаким тождеством , где – какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Достаточным условием линейной независимости функций, непрерывных вместе со своими производными до -го порядка в промежутке , является то, что Вронскиан этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка , т.е.

Если данные функций являются частными решениями ЛОДУ -го порядка, то это условие является не только достаточным, но и необходимым условием линейной зависимости этих решений.

Вронскиан решений ЛОДУ -го порядка

связан с первым коэффициентом этого уравнения формулой Лиувилля-Остроградского:

Совокупность решений ЛОДУ -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.