Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно и , коэффициентами которого служат функции от :

Уравнение Лагранжа интегрируется так. Разрешим его относительно и примем за параметр , полагая

(Здесь введены обозначения , ). Дифференцируя полученное уравнение и заменяя в левой части на , приходим к уравнению

Полученное уравнение – линейное относительно (как функции от ) и поэтому может быть проинтегрировано. Если его решение есть , то общее решение исходного уравнения Лагранжа запишется в виде

Уравнением Клеро называется уравнение вида, которое является частным случаем ДУ Лагранжа. Интегрируя его указанным способом, легко получить общее решение, которое определяет семейство прямых на плоскости.

Однако, уравнение Клеро, кроме общего решения, имеет еще и особое решение, определяемое следующими параметрическими уравнениями:

Особое решение уравнения Клеро (оно есть, когда ) является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением (общим решением уравнения Клеро служит семейство касательных к особому решению).

Уравнение Лагранжа также может иметь особые решения, причем особыми решениями этого уравнения (если они существуют) являются общие касательные ко всем интегральным кривым, определенным общим решением.