Криптографічні перетворення в групі точок еліптичних кривих. Приклади розв’язку задач та задачі для самостійного розв’язання

1.9.1 Приклади розв’язку задач

Задача 1.

Скласти точки P 1 і P 2. P 1=(12, 19), P 2=(5, 4). Якщо еліптична крива має вигляд , тобто a = 1, b = 1, P = 23.

Розв’язок задачі:

.

Знаходимо в полі G (23) обернений елемент Z, розв’язавши порівняння

7* Z º1 (mod 23).

Це порівняння має розв’язок при Z = 10, тому

l = 15*10 (mod 23) = 12.

= 12² – 12 –5 = 144 - 12 – 5 (mod23) = 127 mod23 = 12 mod23.

=12*(12 - 12) - 19(mod23) = 4mod23.

Таким чином:

P ₁ + P ₂ = (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = P ₃ = (x₃, y₃) = (12, 4).

P ₃=(12,4).

Задача 2.

Знайти точку, яка дорівнює . . Еліптична крива має вигляд

, тобто a =1, b =1.

Розв’язок задачі:

Спочатку подвоїмо точку , тобто знайдемо .

Знайдемо , використовуючи (1.88)

.

Знайдемо зворотний елемент

; .

Значить .

Використовуючи (1.85)-(1.86) та враховуючи, що х ₁= х ₂, знайдемо координати х ₂ і у ₂ точки P ₂(x ₂, y ₂)

;

.

Таким чином: .

Далі знайдемо суму точок P ₁+ P ₂= P ₁+2 P ₁= P ₃=(x ₃, y ₃).

.

Знайдемо , використовуючи (1.87)

.

Знайдемо зворотний елемент

; .

Значить .

Використовуючи (1.85) і (1.86), знайдемо х ₃ та у ₃

;

.

Таким чином: 3 Р ₁ =3(5, 4) = (13, 16).