Задача 4. Знайти порядок базової точки (17, 20)

Знайти порядок базової точки (17, 20). Якщо рівняння еліптичної кривої має вигляд .

Розв’язок задачі:

Для визначення порядку точки (17, 20) на еліптичній кривій знайдемо таке значення d, щоб d *(17, 20) (mod 23) = 0.

Для цього підставимо в останнє порівняння d = 1, 2, 3, … k, та визначимо значення скалярного добутку.

При d = 2 маємо

При d = 3

При d = 4 маємо:

При d = 5

P₁ + Q₃ =Q₄

При d = 6

P₁ + Q₄=Q₅

При d = 7

P₁ + Q₅=Q₆

Таким чином порядок n точки G = (17, 25) на еліптичній кривій дорівнює 7.

Задача 5.

Побудувати , m=4, , .

Розв’язок задачі:

Поле – може бути задано 16 поліномами не вище третього
ступеня, наприклад, поліномами над полем GF (2).

Елементи поля можуть бути задані в двійковому вигляді, тоді, наприклад,

x ³+ x ²+1Þ1101

x ³+1Þ1001.

Операція множення елементів поля виконується в полі GF(P).

Наприклад:

Зведемо цей поліном за модулем f (x) = x ⁴+ x +1. У результаті маємо:

Таким чином: (x ³+ x ²+1)(x ³+ 1)(mod (x ⁴+ x +1),2) = x ³+ x ²+ x +1Þ1111.

В табл. 1.5 наведені елементи a^j для j= , якщо a = x.

Таблиця 1.5 – Значення a^j

j
a j		x	x 2	x 3	x +1	x 2+ x	x 3+ x 2	x 3+ x 2+ x +1

Елементи поля можна отримати як a^j = a ^j (mod f(x),2), j= .

Задача 6.

Нехай задано поле , m =4, , .