В пространстве

В аналитической геометрии любую поверхность в пространстве рассматривают как геометрическое место точек, обладающих определённым свойством. Расположим указанную поверхность в системе координат Oxyz. Свойство, общее для всех точек поверхности, запишем аналитически, т. е. в виде соотношения, связывающего координаты произвольной точки поверх-ности:

, (1)

где левая часть – известное выражение, содержащее . Формула (1) называется уравнением поверхности в пространстве Oxyz, а величины – текущими координатами. Например, сфера радиуса R с центром (0, 0, 0) (см. рис. 15) определяется уравнением

. (2)

В самом деле, для любой точки М () сферы расстояние ОМ=R. Заметив, что подставим это выражение в предыдущую формулу и перенесем влево, при этом получим (2). Поэтому (2) является уравнением сферы.

По построению уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому уравнению вида (1) в пространстве Oxyz отвечает некоторая поверхность – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют (1), если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет никакого множества точек, например, , или когда уравнение определяет одну точку, например, .

Итак, каждой поверхности в пространстве Oxyz отвечает уравнение вида (1). Это обстоятельство позволяет свести изучение геометрических свойств поверхностей к изучению их уравнений аналитическими методами. Этим и занимается аналитическая геометрия.

Уравнения линии в пространстве. Линию в пространстве Oxyz будем рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Пусть каждая из этих поверхностей определяется одним из уравнений

(3)

Тогда координаты любой точки линии удовлетворяют каждому из этих уравнений, так как эта точка лежит на обеих поверхностях. Таким образом, линии отвечает система двух уравнений (3). Эта система называется уравнениями линии в пространстве.

Итак, линии в пространстве отвечает система уравнений (3) и, наоборот, каждой системе уравнений (3) в пространстве Oxyz отвечает некоторая линия – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.