![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Даны два вектора и
. Построим их, поместив начала в общей точке (см. рис. 12). Векторным произведением двух векторов
и
называется вектор (обозначаемый
), который обладает свойствами:
· , т. е. длина вектора
численно равна площади параллелограмма, построенного на
,
как на сторонах;
·
,
, т. е.
перпендикулярен к плоскости указанного параллелограмма;
· вектор направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора
ко второму вектору
совершается против хода часовой стрелки.
Для векторного произведения применяют и другие обозначения:
,
´
.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
Первые два свойства доказываются построением. Докажем справедливость равенства
Вначале отметим, что любой вектор можно представить в виде
где вектор
коллинеарен
а вектор
ортогонален
(см. рис. 13). Чтобы в этом убедиться, достаточно через начало вектора
провести прямую, параллельную
через конец вектора
провести плоскость, перпендикулярную
точка их пересечения служит концом
и началом
(начало
совпадает с началом
, конец
– с концом
).
Замечая, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
равна площади параллелограмма, построенного на векторах
поскольку они имеют общую сторону
, одну и ту же высоту
, заключаем, что
Аналогично для вектора
где вектор
коллинеарен
а вектор
ортогонален
будем иметь
Покажем, что
или
где суть векторы, лежащие в одной плоскости, так как они перпендикулярны
Здесь имеем
поскольку вектор ортогонален и
и
Кроме того,
Заметим, что
так как вектор
ортогонален
а вектор
ортогонален
Но
ортогонален
поэтому угол
равен углу между векторами
и
Таким образом, векторы
получаются поворотом вокруг
соответственно векторов
на угол, равный
в одном и том же направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора
) и умножением их на
. Это означает, что
Учитывая, что
где
– вектор, коллинеарный
,
ортогонален
, и принимая во внимание предыдущие соотношения, будем иметь
что и требовалось.
Пусть векторы и
заданы своими проекциями:
=(
,
,
),
. Тогда
=
+
+
,
=
+
+
. Сначала рассмотрим векторные произведения базисных векторов.
С помощью определения векторного произведения покажем справедливость равенств
[
]=
; [
,
]=
; [
,
]=
; [
,
]=
;
[ ,
]=
; [
,
]=
; (19)
[ ,
]=0; [
,
]=0; [
,
]=0. (20)
Итак, пусть [ ,
]=
. Вектор
обладает свойствами:
· = 1×1×1 = 1;
· ,
, т. е.
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы
и
;
· направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора
ко второму вектору
совершается против хода часовой стрелки, т. е.
совпадает с
, следовательно, [
,
]=
.
Покажем, что [ ,
]=0. Пусть [
,
]=
. Тогда
=0,
=0, т. е. [
,
]=0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) – (20). Рассмотрим векторное произведение [
,
] = [
+
+
,
+
+
]. Использовав последние два свойства, запишем
[ ,
]=
[
,
]+
[
,
]+
[
,
]+
[
,
]+
+
[
,
]+
[
,
]+
[
,
]+
[
,
]+
[
,
].
Отсюда с учётом (19) – (20) имеем
[ ,
]=
+
+
-
.
Итак,
[ ,
]=(
-
)
-(
-
)
+(
-
)
. (21)
Следовательно (см. §1),
. (22)
Эту формулу можно записать так:
. (23)
Таким образом, если и
заданы своими проекциями, то векторное произведение двух векторов определяется по формуле (23).
Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов выполняется условие то
и
коллинеарны.
В самом деле, если то
и
, т. е.
или
. Следовательно, векторы
,
коллинеарны.
В этом случае из (21) имеем
-
=0,
-
=0,
-
=0. Значит,
Это и есть условие коллине-арности двух векторов, заданных своими проекциями.
Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного своими вершинами.
Пусть ,
,
– вершины треугольника в пространстве
, а их координаты – заданные числа. Найдем векторы (см. §7)
векторное произведение которых обозначим
=
Тогда согласно (22)
и Площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
равна найденному числу
, поэтому искомая площадь треугольника определяется по формуле
.
§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
Даны векторы ,
и
. Векторы
,
перемножим векторно и получим
. Этот вектор умножим скалярно на
и получим число
, которое называется смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх исходных векторов
,
,
и обозначается
(,
,
) =
=
. (24)
Рассмотрим это смешанное произведение, когда векторы заданы своими проекциями ,
,
. Проекции вектора
на оси координат определяются по формуле (22).
Скалярное произведение векторов и
равно сумме произведений одноимённых проекций:
.
Левая часть этой формулы – смешанное произведение (,
,
). Правую часть запишем в виде определителя третьего порядка:
. (25)
Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями. Выясним теперь
Геометрический смысл смешанного произведения. Даны векторы ,
и
. Построим эти векторы, поместив их начала в общей точке, а затем на них как на рёбрах построим параллелепипед (рис. 14). Построим вектор
, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат векторы
и
, т. е. перпендикулярный к нижнему основанию параллелепипеда. Длина |
| равна площади
нижнего основания параллелепипеда (т. е. площади параллелограмма, построенного на
векторах
и
как на сторонах). Через конец
проведём плоскость, перпендикулярную к
(ясно, что верхнее основание параллелепипеда лежит в этой плоскости). Эта плоскость пересечёт вектор
(или его продолжение) в точке К (К – проекция конца вектора
на указанную линию). Из построения следует, что расстояние ОК равно высоте
параллелепипеда. Пусть
– угол между
и
. На рис. 14 изображен случай, когда
при этом
Смешанное произведение
Но
и
Поэтому
где
– объём параллелепипеда. Этот результат мы получили для случая, когда
. Если
, то вектор
лежит ниже плоскости векторов
,
, при этом
и
Итак, справедлива формула
(26)
где – объем параллелепипеда.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Условие компланарности трех векторов. Если для трёх ненулевых векторов ,
и
выполняется условие
, (27)
то эти векторы компланарны.
Действительно, в этом случае согласно (26) имеем
Отсюда следует, что три вектора лежат в одной плоскости, так как или
или
Если ,
и
заданы своими проекциями, то условие компланарности (27) с учётом (25) можно записать так:
.
Это условие проверяется непосредственно по заданным проекциям рассматриваемых векторов.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 366 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!