Коллинеарности двух векторов, площадь треугольника

Даны два вектора и . Построим их, поместив начала в общей точке (см. рис. 12). Векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначаемый ), который обладает свойствами:

· , т. е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на , как на сторонах;

· , , т. е. перпендикулярен к плоскости указанного параллелограмма;

· вектор направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки.

Для векторного произведения применяют и другие обозначения: , ´ .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

Первые два свойства доказываются построением. Докажем справедливость равенства

Вначале отметим, что любой вектор можно представить в виде где вектор коллинеарен а вектор ортогонален (см. рис. 13). Чтобы в этом убедиться, достаточно через начало вектора провести прямую, параллельную через конец вектора провести плоскость, перпендикулярную точка их пересечения служит концом и началом (начало совпадает с началом , конец – с концом ).

Замечая, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна площади параллелограмма, построенного на векторах поскольку они имеют общую сторону , одну и ту же высоту , заключаем, что

Аналогично для вектора где вектор коллинеарен а вектор ортогонален будем иметь

Покажем, что

или

где суть векторы, лежащие в одной плоскости, так как они перпендикулярны Здесь имеем

поскольку вектор ортогонален и и Кроме того, Заметим, что так как вектор ортогонален а вектор ортогонален Но ортогонален поэтому угол равен углу между векторами и Таким образом, векторы получаются поворотом вокруг соответственно векторов на угол, равный в одном и том же направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ) и умножением их на . Это означает, что Учитывая, что где – вектор, коллинеарный , ортогонален , и принимая во внимание предыдущие соотношения, будем иметь

что и требовалось.

Пусть векторы и заданы своими проекциями: =(, , ), . Тогда = + + , = + + . Сначала рассмотрим векторные произведения базисных векторов.

С помощью определения векторного произведения покажем справедливость равенств

[ ]= ; [ , ]= ; [ , ]= ; [ , ]= ;

[ , ]= ; [ , ]= ; (19)

[ , ]=0; [ , ]=0; [ , ]=0. (20)

Итак, пусть [ , ]= . Вектор обладает свойствами:

· = 1×1×1 = 1;

· , , т. е. перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы и ;

· направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки, т. е. совпадает с , следовательно, [ , ]= .

Покажем, что [ , ]=0. Пусть [ , ]= . Тогда =0, =0, т. е. [ , ]=0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) – (20). Рассмотрим векторное произведение [ , ] = [ + + , + + ]. Использовав последние два свойства, запишем

[ , ]= [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+

+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ].

Отсюда с учётом (19) – (20) имеем

[ , ]= + + - .

Итак,

[ , ]=( - ) -( - ) +( - ) . (21)

Следовательно (см. §1),

. (22)

Эту формулу можно записать так:

. (23)

Таким образом, если и заданы своими проекциями, то векторное произведение двух векторов определяется по формуле (23).

Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов выполняется условие то и коллинеарны.

В самом деле, если то и , т. е. или . Следовательно, векторы , коллинеарны.

В этом случае из (21) имеем - =0, - =0, - =0. Значит, Это и есть условие коллине-арности двух векторов, заданных своими проекциями.

Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного своими вершинами.

Пусть , , – вершины треугольника в пространстве , а их координаты – заданные числа. Найдем векторы (см. §7) векторное произведение которых обозначим = Тогда согласно (22)

и Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна найденному числу , поэтому искомая площадь треугольника определяется по формуле .

§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов

Даны векторы , и . Векторы , перемножим векторно и получим . Этот вектор умножим скалярно на и получим число , которое называется смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх исходных векторов , , и обозначается

(, , ) = = . (24)

Рассмотрим это смешанное произведение, когда векторы заданы своими проекциями , , . Проекции вектора на оси координат определяются по формуле (22).

Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноимённых проекций:

.

Левая часть этой формулы – смешанное произведение (, , ). Правую часть запишем в виде определителя третьего порядка:

. (25)

Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями. Выясним теперь

Геометрический смысл смешанного произведения. Даны векторы , и . Построим эти векторы, поместив их начала в общей точке, а затем на них как на рёбрах построим параллелепипед (рис. 14). Построим вектор , перпендикулярный к плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. перпендикулярный к нижнему основанию параллелепипеда. Длина | | равна площади нижнего основания параллелепипеда (т. е. площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах). Через конец проведём плоскость, перпендикулярную к (ясно, что верхнее основание параллелепипеда лежит в этой плоскости). Эта плоскость пересечёт вектор (или его продолжение) в точке К (К – проекция конца вектора на указанную линию). Из построения следует, что расстояние ОК равно высоте параллелепипеда. Пусть – угол между и . На рис. 14 изображен случай, когда при этом Смешанное произведение Но и Поэтому где – объём параллелепипеда. Этот результат мы получили для случая, когда . Если , то вектор лежит ниже плоскости векторов , , при этом и Итак, справедлива формула

(26)

где – объем параллелепипеда.

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Условие компланарности трех векторов. Если для трёх ненулевых векторов , и выполняется условие

, (27)

то эти векторы компланарны.

Действительно, в этом случае согласно (26) имеем Отсюда следует, что три вектора лежат в одной плоскости, так как или или

Если , и заданы своими проекциями, то условие компланарности (27) с учётом (25) можно записать так:

.

Это условие проверяется непосредственно по заданным проекциям рассматриваемых векторов.