![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть в пространстве задана некоторая числовая (координатная) ось l с началом в точке
=
есть вектор, произвольно расположенный в пространстве (рис. 8). Пусть
и
– проекции на ось l соответственно начала
и конца
рассматриваемого вектора (т. е.
и
– точки пересечения с осью
пло-скостей, перпендикулярных к оси
и проведенных через точки
и
);
и
– соответственно координаты точек
и
на координатной оси
Раз-ность
между координатами проекций конца и начала вектора
=
на ось
называется проекцией этого вектора на ось
и обозначается прl
= прl
. Итак,
. (2)
Под углом между вектором
=
и осью
в пространстве понимается угол между этим вектором и осью
. Ось
параллельна оси
, направлена, как
, и проходит через точку
– начало вектора. Этот угол всегда считается положительным и измеряется в пределах
Легко проверить, что
прl =|
|
. (3)
Итак, проекция вектора на ось равна произведению его длины на косинус угла между вектором и осью. Эта формула становится очевидной, если вектор перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало
лежало на оси
например, совпало с точкой
.
§5. Разложение вектора по базисным векторам
Возьмем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Здесь и в дальнейшем будем считать, что эта система правая, т. е. такая, для которой поворот от оси
к оси
на угол, меньший
, совершается в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть на плоскость
из какой-либо точки положительной полуоси
Пусть
,
,
– единичные векторы, лежащие на осях
и направленные в положительную сторону этих осей, а их начала совпадают с началом координат O (рис. 9), |
| = |
| = |
| = 1. Эти векторы называются базисными (основными).
Пусть – произвольный вектор в системе координат
Перенесём его параллельно самому себе так, чтобы начало вектора совпало с точкой О. Получим вектор
=
. Пусть
,
и
– проекции точки
на оси
и
. Из рис. 9 видно, что
=
=
+
+
,
=
,
=
Þ
=
=
+
+
(4)
Пусть ,
,
– проекции вектора
=
на оси
и
. Так как
– проекция
на ось
, то по формуле (2) имеем
так как
, то
(5)
Пусть =
, как показано на рис. 9. В этом случае
=|
|. По формуле (1) имеем
=|
|
, но
=|
| и
=
, поэтому
=
. Легко проверить, что эта формула остаётся справедливой при
=
(при этом вектор
будет направлен противоположно
). Аналогично будем иметь
=
,
=
. Подставим эти выражения в (4):
=
+
+
. (6)
Получили формулу, которая называется разложением вектора по базисным векторам. Коротко ее записывают в виде =(
,
,
), подчёркивая, что задание вектора в пространстве равносильно заданию трёх чисел – проекций этого вектора на оси координат. Числа
,
,
называют также координатами
по отношению к базисным векторам
,
,
. Слагаемые векторы правой части (6) называют составляющими вектора
Вектор с началом в точке О – начале координат – называется радиус-вектором точки
конца этого вектора. Покажем, что проекции на оси координат радиус-вектора точки
равны координатам этой точки.
Пусть точка имеет координаты
в рассматриваемой системе
По определению абсциссы точки
имеем
, где
– координата точки
Но согласно (5)
– проекции
на ось
т. е.
Аналогично
Итак,
§6. Линейные операции над векторами,
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 246 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!