Расчет двухконтурной цифровой системы регулирования в пакетах Simulink и Control System Toolbox

Предложено несколько методик расчета цифровых систем. Рассмотренная ранее (п.4.3) состоит в том, что систему рассчитывают как аналоговую, а затем, выбрав интервал дискретности , пересчитывают передаточные функции аналоговых регуляторов на дискретные. Рассчитанную в параграфе 4.3 двухконтурную систему как импульсную пересчитаем в цифровую.

На первом этапе расчета цифровых систем осуществляется в пакете Control System Toolbox, что достигается исключением блоков Rounding и Encoder из подсистемы АЦП. При таком упрощении система становиться линейной, что позволяет оценить влияние таких параметров как:

- интервал дискретизации ;

- типы регуляторов;

- методы аппроксимации;

- время запаздывания;

- построение логарифмических характеристик на плоскости W.

%Программа 1 (Kon_tok_MP05m.m).

%Расчет цифровой системы регулирования.

%Определение параметров контура тока, настроенного

%на технический оптимум

h1=tf(22,[0.003,1]); %Передаточная функция преобразователя.

h2=tf(9.217,[0.0086,1]); %Передаточная функция якорной цепи.

h3=tf(1,[0.0015,1]); %Передаточная функция фильтра.

h4=0.0345; %Коэффициент обратной связи.

h=h1*h2*h3*h4; %Передаточная функция контура тока

%(располагаемой системы).

t=0.003; %Интервал дискретности.

d1=c2d(h,t); %Дискретная передаточная функция контура

%тока (располагаемой системы).

r1=tf([0.1976,23.83],[1,0]); %Передаточная функция

%регулятора тока.

hr=h*r1; %Передаточная функция контура тока с регулятором.

d2=c2d(r1,t); %Дискретная передаточная функция регулятора

%разомкнутой системы

d=d1*d2; %Дискретная передаточная функция контура тока

%с регулятором.

dzpk=zpk(d) %Преобразование дискретной передаточной функции

%из формы TF в форму ZPK

%Определение исходных данных для построения ЛАЧХ

%в функции псевдочастоты

syms z t w %Ввод символьных переменных.

%Подготовка данных к пакету

%Symbolik Math Toolbox

t=0.003 %Интервал дискретности.

z=(1+j*w*t/2)/(1-j*w*t/2) %Замена переменных.

%Переход к псевдочастоте.

dd=0.07355*(z+1.728)*(z-0.6382)*...%Исходные данные.

(z+0.109)/(z-1)/(z-0.7055)/... %Z-передаточная функция

(z-0.3679)/(z-0.1353) %разомкнутой системы.

digits(6) %Требуемая точность в количестве десятичных

vpa(dd) %знаков (арифметика с переменной точностью).

simplify(dd) %Упрощение символьных выражений.

%Построение ЛАЧХ контура тока в функции псевдочастоты.

%Система неминимально фазовая

v1=[-0.0015,1],v2=[0.0012,1] %Сомножители полинома

v3=[0.0068,1],v4=[-0.0004,1] %числителя. Исходные данные.

vv1=166.71*conv(v1,v2) %Команды, определяющие

vv2=conv(vv1,v3) %полином

vv=conv(vv2,v4) %числителя.

dn1=[1,0],dn2=[0.002,1] %Сомножители полинома

dn3=[0.0032,1],dn4=[0.0059,1] %знаменателя. Исходные данные.

ddn1=conv(dn1,dn2) %Команды, определяющие

ddn2=conv(ddn1,dn3) %полином

ddn=conv(ddn2,dn4) %знаменателя.

lan=tf([vv],[ddn]) %Передаточная функция контура

%тока, выраженная через полиномы.

figure(1) %Построение ЛАЧХ контура тока в

%функции псевдочастоты. Система

bode(lan,hr,{10,1000}),grid on %неминимально фазовая

%Построение ЛАЧХ в функции псевдочастоты.

%Система минимально фазовая

v2=[0.0012,1] %Сомножители полинома

v3=[0.0068,1] %числителя. Исходные данные.

vv=166.71*conv(v2,v3) %Команда, определяющая полином

%числителя.

dn1=[1,0],dn2=[0.002,1] %Сомножители полинома

dn3=[0.0032,1],dn4=[0.0059,1] %знаменателя. Исходные данные.

ddn1=conv(dn1,dn2) %Команды, определяющие

ddn2=conv(ddn1,dn3) %полином

ddn3=conv(ddn2,dn4) %знаменателя.

vd1=[0.0015,1] %Сомножители полином знаменателя,

vd2=[0.0004,1] %учитывающие неминимально фазовые звенья.

vd=conv(vd1,vd2) %Команды, определяющие полином знаменателя

ddn=conv(vd,ddn3) %с учетом неминимально фазовых звеньев.

lam=tf([vv],[ddn]) %Передаточная функция контура тока для

%минимально фазовых звеньев.

lam1=tf([vv],[ddn],'td',0.003) %Передаточная функция

%контура тока, состоящего из минимально

%фазовых звеньев с учетом

%звена запаздывания.

figure(2) %ЛФЧХ контура тока в функции

%псевдочастоты с учетом звена

%запаздывания и без

bode(lam,lam1,{10,1000}),grid on %звена запаздывания

figure(3) %Определение запаса по

margin(lam),grid on %фазе контура тока без

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(lam) %учета звена

[20*log10(Gm),Pm,Wcg,Wcp] %запаздывания

figure(4) %Определение запаса по

margin(lam1),grid on %фазе контура тока с

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(lam1) %учетом звена запаздывания.

В программе 1 при определены параметры дискретного регулятора тока и построены ЛАЧХ дискретной системы, в функции абсолютной псевдочастоты, и аналоговой системы, в функции круговой частоты сисет регулирования. Анализ частотных характеристик аналоговых и дискретных систем, представленных на одних графиках, позволяет определить запас по амплитуде, фазе, частоту среза систем, а также влияние на частотные характеристики звена запаздывания, характеризующего работу микропроцессора.

В программе 2 в пакете Control System Toolbox определенны Z–передаточные функции регуляторов тока и угловой скорости при разных интервалах дискретности и разных методах аппроксимации. (Kon_skor_02).

%Программа 2

%Ругулятор скорости.

h1=tf([25.68,1070],[1,0]) %Исходные данные

t=0.00003 %Интервал дискретизации

h2=c2d(h1,t) %Z-передаточная функция регулятора

h4=c2d(h1,t,'fon') %скорости с экстраполяторами

%нулевого и первого порядков.

%Ругулятор тока.

h3=tf([0.1976,23.83],[1,0]) %Исходные данные

t1=0.00003 %Интервал дискретизации

h2tz=c2d(h3,t1)) %Z-передаточная функция регулятора

h2tf=c2d(h3,t1,'fon') %тока с экстраполяторами

%нулевого и первого порядков.

%Ругулятор тока и скорости.

t103=0.000825 %Определение Z-передаточной функции

hsz=c2d(h1,t103) %регулятора скорости для экстраполятора

hsf=c2d(h1,t103,'fon') %нулевого и первого порядка

htz=c2d(h3,t103) %регулятора тока для экстраполятора

htf=c2d(h3,t103,'fon') %нулевого и первого порядка

%Ругулятор тока и скорости при уменьшенном интервале.

h1sm=tf([25.68,1070],[1,0]) %Исходные данные.

tt=0.003 %Интервал дискретизации

h2sm=c2d(h1sm,tt) %Регулятор скорости.

h4sm=c2d(h1sm,tt,'fon')

h3tm=tf([0.1976,23.83],[1,0]) %Исходные данные.

h2tm=c2d(h3tm,tt) %Регулятор тока.

h4tm=c2d(h3tm,tt,'fon')

В результате исследования систем в пакете Control System Toolbox определены дискретные передаточные функции регуляторов тока и скорости. Преобразование аналогового сигнала в цифровой можно выполнить по принципиальной схеме рис.5.35 или рис.5.36, так как в режиме «Программный опрос» их работа с точки зрения функционального преобразования эквивалента.

В то же время имеются некоторые отличия, которые могут быть полезно использованы в конкретных ситуациях. Например, исследование систем с АЦП по рис.5.35 требует на порядок меньшего времени моделирования, так как позволяет в процедуре численного решения уравнений существенно увеличить шаг без потери точности. Схемы рис.5.37 позволяют более гибко, за счет ввода константы в блок Fcn, осуществлять выборки и формировать сигналы на выходе АЦП.

На рис.5.39 с учетом параметров регуляторов и подсистемы АЦП представлена схема моделирования двухконтурной системы регулирования. Учет блока Rounding в АЦП делает систему нелинейной, а исключение этого блока из АЦП линеаризирует систему. Это позволяет во-первых, наглядно учесть эффект от ввода нелинейных блоков, а во-вторых, сравнить результаты расчетов систем, выполненных в двух пакетах: Simulink и Control System Toolbox.

Рис.5.39. Схема моделирования системы подчиненного регулирования

Результат моделирования систем представлены на рис.5.40. Для исключения наложения графиков в линейной системе, не учитывающей квантование по уровню, уменьшена в 1,5 раза амплитуда входного сигнала.

Из рис.5.40 видно, что переход к квантованным по времени сигналам увеличило перерегулирование (кривая 1), по сравнению с аналоговыой системой, настроенные на симметричный оптимум, а учет квантования по уровню и времени (кривая 2), вызвало незатухающие колебания. Проанализируем нежелательные последствия ввода АЦП поэтапно. Сначала рассмотрим линейную систему и попытаемся уменьшить величину перерегулирования, а затем нелинейную систему и попытаемся убрать или уменьшить амплитуду колебаний.

Рис.5.40. Результаты моделирования цифровой системы при (1-линейная система; 2-нелинейная система).

Как видно из рис.5.40 перерегулирование за счет учета квантования по времени выросло на 20 %. При переходе от аналоговой системы к цифровой всегда увеличивается перерегулирование от ввода запоминающих блоков и блоков задержек, уменьшающих запас по фазе. Причем, наблюдается тенденция к увеличению перерегулирования при увеличении . Поэтому на первом этапе попытаемся улучшить динамические показатели системы путем уменьшения .

Величина 0,00003 с. для данной микроЭВМ является найменьшей и учитывает только работу АЦП. С учетом уменьшенного интервала дискретности Программой 2 определенны дискретные передаточные функции регуляторов тока и скорости, а затем в пакете Simulink проведено моделирование с новыми параметрами регуляторов. Результаты моделирования показали, что перерегулирование уменьшилось незначительно. Более эффективным средством борьбы с перерегулированием является ввод дискретного корректирующего устройства, методика определения которого основана на анализе логарифмических характеристик контура скорости в функции абсолютной псевдочастоты и состоит из нескольких этапов:

1. По заданным передаточным функциям, структурной схеме и выбранному интервалу дискретности определить Z–передаточные функции разомкнутой системы.

2. Используя преобразования

,

определить передаточные функции разомкнутой системы в функции абсолютной псевдочастоты.

3. Строим ЛАЧ и ЛФЧ характеристики разомкнутой системы в функции круговой частоты и абсолютной псевдочастоты и оценить правильность выбора . При правильно выбранном интервале дискретизации ЛАЧ характеристик в области низких и средних частот непрерывной и дискретной системы должны практически совпадать.

4. Определяем запас по фазе цифровой системы и оцениваем величину перерегулирования.

5. Если запас по фазе цифровой системы меньше , то целесообразно определить параметры непрерывного корректирующего устройства по ЛАЧ характеристики непрерывной системы. Коррекция осуществляется в области средних частот: дифференцирующее звено включается при , а выключается при . В этом случае параметры непрерывного корректирующего устройства определяются выражениям

. (5-53)

6. Учитывая, что ЛАЧ характеристики непрерывной системы в функции круговой частоты и цифровой системы в функции псевдочастоты в области существенных частот совпадают, то в выражении (5-33) осуществим замену , а затем используем подстановку

(5-54)

и определяем передаточную функцию дискретного корректирующего устройства.

При ЛАЧХ непрерывной системы в функции круговой частоты совпадают с ЛАЧХ цифровой системы в функции абсолютной псевдочастоты (Программа 1). При уменьшении диапазон частот, в котором ЛАЧХ двух систем идентичны, увеличится, но частота среза системы остается неизменной. Поэтому вне зависимости от интервала дискретности исходными данными для определения параметров дискретных корректирующих устройств является выражение (5-33). Заменяя в выражении (5-53) круговую частоту абсолютной псевдочастотой, а затем, осуществляя подстановку (5-54), получим выражение для определения передаточной функции дискретных корректирующих устройств при различных интервалах дискретности.

. (5-55)

В табл.1 приведены временные характеристики (величина перерегулирования) исследуемых систем до и после ввода цифровых корректирующих устройств. В данных экспериментах аналоговая часть системы оставалась неизменной, а меняется интервал дискретности и, как следствие этого, дискретные передаточные функции регуляторов тока и скорости. Для каждого значения по выражению (5-53) определена дискретная коррекция. Из табл.1 видно, что изменение в системе без коррекции практически не влияет на величину перерегулирования. В то же время ввод дискретной коррекции является эффективным средством уменьшения перерегулирования во всем диапазоне изменения .

Рис.5.41. Схема моделирования дискретной системы с дискретными корректирующим устройством (DDV_skor_07v04.mdl)

Данные табл.1 получены из моделировании систем, одна из которых, иллюстрирующая применение дискретной коррекции при с., представлена на рис.5.41

Известно, и это подтверждается данным табл.1, что при уменьшении нули передаточных функций корректирующих устройств и регуляторов приближаются к единице, что повышает чувствительность цифровых устройств к ошибкам округления, которые появляются при выполнении арифметических операций [20]. Этот эффект не учтен в схемах моделирования, но его следует опасаться при работе с реальными микропроцессорными устройствами, имеющими меньшую, по сравнению с персональной ЭВМ, разрядную сетку. Поэтому дискретную коррекцию следует считать эффективным методом повышения качества регулирования: с вводом дискретной коррекции удается получить удовлетворительные результаты при повышенных значениях .

Таблица 1

№ п/п		Дискретное кор- ректирующее устройство	Перерегулирование нескорректи- рованной системы %	Перерегулирование скорректированной системы %

При учете квантования по уровню в цифровой системе за счет нелинейных элементов могут появиться периодические колебания, допустимость которых зависит от амплитуды. Колебания в кривой тока увеличивают среднеквадратичные значения тока, что вызывает дополнительные тепловые потери, потери на перемагничивание и ухудшают условия коммутации. Кроме того, низкая частота и значительная амплитуда в кривой тока может вызвать колебания угловой скорости, что понижает статическую точность. Поэтому пульсация тока в якорной цепи не должна превышать 10% его номинального значения. Это достигается выбором реакторов в якорной цепи двигателя, выбором корректирующих устройств и разрядностью ЦАП.