Співвідношення між лінійними та кутовими величинами

Встановимо співвідношення між лінійною і кутовою швидкостями та лінійним і кутовим прискоренням. Довжина дуги , яку описує точка, що знаходиться на відстані від осі при обертанні на кут :

= . (1.1.32)

Поділимо цю рівність на . При матимемо:

= , або = . (1.1.33)

На основі формул (1.1.27) та (1.1.33) отримаємо, що нормальне прискорення:

= = . (1.1.34)

Тангенціальне прискорення:

= = ( )= . (1.1.35)

З рівнянь (1.1.34) та (1.1.35) видно, що як нормальне так і тангенціальне прискорення пропорційне відстані від осі обертання . Модуль повного прискорення точки тіла:

= . (1.1.36)

Отже, знаючи кутову швидкість і кутове прискорення тіла, що обертається, а також відстань від осі обертання, можна визначити величину і напрям прискорення будь-якої точки тіла. Оскільки відношення тангенціального прискорення до нормального:

= (1.1.37)

є однаковим для всіх точок тіла, то вектор повного прискорення для всіх точок тіла утворює з радіусом, проведеним до цієї точки, один і той самий кут (рис. 1.1.7).

При обертальному русі кутова швидкість і кутове прискорення визначаються однозначно тоді, коли відоме розташування в просторі осі обертанні і вказано напрям обертання навколо неї.

Оскільки лінійна швидкість і лінійне прискорення – векторні величини, а крім того між величинами , , , і існує взаємозв’язок у вигляді формул (1.1.33)-(1.1.36), то кутову швидкість і кутове прискорення доцільно визначати як вектори.

Вектор кутової швидкості зображують відрізком прямої, яка збігається з віссю обертання. Довжина цієї прямої в певному масштабі виражає величину кутової швидкості. Цей зв’язок умовились встановлювати за правилом правого гвинта: вектор кутової швидкості напрямлений вздовж осі обертання в бік поступального руху гвинта, коли його обертати за напрямом обертання (рис. 1.1.8). Такий вектор називають осьовим або аксіальним. Оскільки кутова швидкість є вектор, то зміна кутової швидкості є також вектором. Отже, кутове прискорення – також вектор, який збігається за напрямом з вектором .

В разі, коли орієнтація осі обертання з часом не змінюється, вектор кутового прискорення при збільшення кутової швидкості збігається з вектором кутової швидкості. При зменшенні кутової швидкості напрями векторів кутового прискорення і кутової швидкості протилежні. Запишемо співвідношення (1.1.33)-(1.1.36) у векторній формі. Для цього розглянемо радіус обертання точки як вектор, напрямленій від осі обертання. На основі означення векторного добутку (лекція 0.1):

=[ х ]. (1.1.38)

=[ х ]. (1.1.39)

=- . (1.1.40)

На рисунку 1.1.9 показано розташування векторів , , , , , . Знак мінус у формулі (1.1.40) вказує на те, що нормальне прискорення напрямлене по радіусу до центра. Введення векторів кутової швидкості і кутового прискорення є доцільним також тому, що у разі, коли тіло одночасно бере участь у двох обертаннях, його результуюче обертання характеризується саме цими векторами, які дістанемо завдяки додаванню за правилом паралелограма. Приклад розглянутий у [5] на стор. 16.

Обертання характеризується також періодом обертання і частотою обертання . Період обертання – час, протягом якого тіло робіть повний оберт навколо осі обертання, а частота (лінійна частота) – кількість обертів, які здійснює тіло за одиницю часу. Між періодом і частотою обертання існує простий зв’язок:

= . (1.1.41)

Оскільки за період тіло здійснює повний поворот на кут = , то:

= = . (1.1.42)