Приклади Б. Рух точки заданий параметричним (координатним) способом

Б.1) Рух точки задано в параметричному вигляді многочленами

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах, - в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу = 1 c знайти: 1) положення точки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. З рівняння (1) знаходимо . Підставляючи цей вираз в рівняння (2), отримуємо рівняння траєкторії

.

Отже траєкторія руху точки - парабола. Оскільки ≥ 0, то це буде лише її права гілка параболи, яка починається у точці (0, –1), що зображено на рис. 1.10.

Знайдемо положення рухомої точки .

При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

2 см, 3 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо згідно з (1.9) як перші похідні від та за часом:

2, (3)

. (4)

Отже, компонент швидкості вздовж осі х є сталою величиною = 2 см/с, а для знаходження другого компонента підставимо
= 1 с в вираз (4) і отримуємо = 8 см/с.

Модуль швидкості знайдемо згідно (1.10)

= = 8,25 см/с.

Після цього, будуємо траєкторію , та вказуємо положення точки в заданий момент часу. Далі у зручному для наших даних масштабі (наприклад, 1 см = 1 см/с) будуємо вектори компонент швидкостей , та їх векторну суму (рис. 1.10).

Зверніть увагу на те, що вектор лежить на дотичній до траєкторії.

Тепер визначимо компоненти прискорення (у відповідності з (1.15), взявши похіднівід та за часом) і отримаємо:

, (5)

= 8,0 см/с². (6)

Таким чином у даному прикладі компонент прискорення вздовж осі дорівнює нулю, а компонент прискорення вздовж осі сталий і додатний. Модуль повного прискорення знайдемо за формулою (1.16)

= 8,0 см/с².

Отож, в даному випадку , що ми і зображуємо в масштабі
1см = 2 см/с² в даному випадку (рис. 1.11).

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами (1.23) та (1.24):

= = 7,76 см/с²,

= 1,95 см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії за формулою (1.25)

= 68/1,95 = 34,8 см.

Щоб зобразити тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, спроектуємо вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями: один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.11), складова вздовж нього визначить вектор , а другий – до центру кривизни траєкторії (в нашому випадку вліво, догори), складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь: точка рухається по гілці параболи і в момент часу = 1 c: (2, 3), = 8,25 см/с,
8,0 см/с², = 7,76 см/с², = 1,95 см/с²,
= 34,8 см.

Б.2)Рівняння руху точки задано у параметричному вигляді через тригонометричні функції однакового аргументу:

, (1)

. (2)

Для того, щоб визначити рівняння траєкторії потрібно виключити час з цих рівнянь. Оскільки аргументи тригонометричних функцій однакові, то послідовно виконаємо наступні операції. Перепишемо рівняння (1) та (2) у вигляді:

, (3)

. (4)

Піднесемо праву та ліву частину рівнянь (3) та (4) до другого ступеня, складемо праві та ліві частини і отримаємо

. (5)

Ми отримали рівняння еліпса з півосями 5 та 3 з центром у точці (2, -1).

Всі кінематичні характеристики знайдемо тим самим шляхом, яким користувалися у попередньому прикладі:

= 6,33 см, = 0,50 см,

,

.

Отже, для = 1 c:

= 2,62 см/с,

= –2,72 см/с,

см/с.

Відповідні вектори зображені на рис. 1.12 в масштабі 1 см = 1 см/с.

Далі визначимо компоненти прискорення:

,

.

З останніх рівнянь знайдемо компоненти прискорення та його модуль в завданий момент часу = 1 с:

= – 4,75 см/с²,

= – 1,65см/с²,

=5,03 см/с².

Щоб зобразити складові прискорення , та повне прискорення як вектори, оберемо зручний масштаб (1 см = 1 см/с² в даному випадку). зобразимо та з урахуванням їх напрямів та довжин (рис. 1.13) та побудуємо їх векторну суму .

Тангенціальне, нормальне прискорення і радіус кривизни траєкторії руху точки , як і у попередньому прикладі,визначимо за формулами (1.23) – (1.25):

= – 2,11 см/с².

= 4,56 см/с²,

14,28/4,56 = 3,13 см.

Щоб зобразити тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, спроектуємо вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями: один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.12, 1.13), складова вздовж нього визначить вектор , а другий – до центру кривизни траєкторії (в нашому випадку вниз ліворуч), складова вздовж нього визначить вектор .

Від’ємне значення означає, що рух точки сповільнений, а тому тангенціальне прискорення напрямлене проти вектора швидкості (порівняйте напрями зазначених векторів на рис. 1.12 та 1.13).

Відповідь: траєкторія руху точки – еліпс, при c: (6,33; 0,5),
2,62 см/с, –2,72 см/с, 3,78 см/с, –2,11 см/с², 4,56 см/с², 5,03 см/с², 3,13 см.

Б.3) Рух точки задано в параметричному вигляді рівняннями тригонометричними функціями кратних аргументів:

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах, - в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу = 1 c знайти: 1) положення точки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. У нашому випадку аргументи тригонометричних функцій кратні двом, тому, за формулою , перепишемо перше рівняння у вигляді

Скористаємося другим рівнянням і визначимо рівняння траєкторії

.

Отже траєкторія руху точки це частина параболи яка обмежена по осі в інтервалі [-4,4] та по осі в інтервалі [-5,5]. Траєкторія зображена на рис. 1.14.

Знайдемо положення рухомої точки . При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

= 2 см, = 2,5 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо як перші похідні від та за часом

, (3)

, (4)

при = 1 с:

см/с, см/с.

Модуль швидкості знайдемо за формулою

см/с;

Вектори швидкостей вказані на рис. 1.14 в масштабі 1 см = 1 см/с.

Тепер визначимо компоненти прискорення, взявши похіднівід та за часом і отримаємо:

,

,

при = 1 с:

см/с²,

см/с².

Модуль повного прискорення знайдемо за формулою

2,29 см/с².

Щоб зобразити складові прискорення , та повне прискорення як вектори, оберемо зручний масштаб (1 см = 1 см/с² в даному випадку). Зобразимо та з урахуванням їх напрямів та величин (рис. 1.14) та побудуємо їх векторну суму .

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами:

= 1,49 см/с²,

см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії

см.

Щоб знайти тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, потрібно спроектувати вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями, один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.14) складова вздовж нього визначить вектор , а другий – до центру кривизни траєкторії, складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь: точка рухається по гілці параболи і при 1 с: (2; 2,5),
= 4,27 см/с, 2,29 см/с², = 1,49 см/с², = 1,74 см/с², = 10,48 см.