Вектор швидкості точки

Швидкість точки характеризує зміну положення точки з плином часу. Нехай в момент часу точка займала положення (рис. 1.5), а в наступний момент знаходилась в точці . Миттєва швидкість точки в момент часу визначається першою похідною від радіус-вектора за часом

. (1.7)

Вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у відповідній точці в бік руху (рис. 1.5).

Якщо рівняння руху точки задано в декартових координатах, то

. (1.8)

Отже, алгебраїчні проекції вектора швидкості на кожну з осей (рис. 1.6) дорівнюють похідним за часом від відповідної координати точки

, , . (1.9)

Ці алгебраїчні величини однозначно вказують напрям руху точки відносно відповідних осей (вздовж чи проти осі). Модуль вектора швидкості обчислюють за формулою

. (1.10)

Визначимо швидкість руху точки, вважаючи, що рух задано натуральним способом (рис. 1.7). Оскільки дугова координата є функцією часу, то радіус-вектор буде складною функцією часу . Тоді

, (1.11)

де

= (1.12)

- алгебраїчне значення миттєвої швидкості ,

, (1.13)

- одиничний вектор (орт), який направлений по дотичній до кривої в сторону зростання дугової координати (рис. 1.7, а, б) і не залежить від напряму руху точки.

Якщо , то точка рухається в напрямі зростання дугової координати і напрям швидкості співпадає з напрямом орта (рис. 1.7, а). При точка рухається в напрямі зменшення дугової координати і вектор швидкості протилежний до напряму орта (рис. 1.7, б). Таким чином, знак алгебраїчного значення швидкості ( = ) однозначно вказує напрям руху точки вздовж траєкторії.

У випадку сталої (за напрямом та модулем) швидкості, після інтегрування рівняння (1.7) отримуємо закон руху точки у наступному вигляді

,

де – положення точки в момент часу = 0 (початок відліку часу).