Приклади розв’язання задач. Приклад А. Рух точки заданий натуральним способом

Приклад А. Рух точки заданий натуральним способом. Знайти положення точки, її швидкість та прискорення в заданий момент часу = 1 с, якщо точка рухається по колу радіуса = 12 см, за законом (см). Всі вектори зобразити на рисунку.

Розв’язання. Накреслимо коло довільного радіуса та помітимо його центр літерою . Вкажемо початкове положення - точку та додатний напрям руху (рис. 1.9).

Визначимо положення точки на момент часу = 1 с. Для цього підставимо цей час в рівняння руху та отримаємо

= 18,8 см.

Знайдемо положення точки на траєкторії, скориставшись визначенням радіанної міри кута

= 90°,

що вказує положення точки на траєкторії (рис. 1.9)

Взявши першу похідну від закону руху за часом, знаходимо закон зміни швидкості точки

,

і на момент часу = 1 с отримаємо

3,14∙4 = 12,6 см/с.

Додатне значення швидкості визначає напрям руху точки в бік зростання дугової координати (в нашому випадку – проти руху стрілки годинника), що зображено на рис. 1.9.

Похідна за часом від модуля швидкості дозволяє знайти тангенціальне прискорення

,

що на момент часу = 1 с дає

– 18,8 см/с².

Різні знаки у швидкості та тангенціального прискорення вказують на те, що їх напрями протилежні, отож, точка рухається сповільнено.

Точка рухається по колу, тому радіус кривизни траєкторії є радіус кола. Величину нормального прискорення, яке спрямоване до центру кола, знаходимо за формулою

= 12,6² / 12 = 13,2 см/с².

Повне прискорення є векторною сумою взаємно перпендикулярних складових та , тому модуль повного прискорення знайдемо скориставшись формулою Піфагора

= 22,9 см/с².

Відповідь: = 18,8 см, = 90°, 12,6 см/с, 18,8 см/с²,

13,2 см/с², 22,9 см/с².