Приклад К-4

Кругла пластина (рис.К4.а) радіусом обертається навколо осі, яка лежить в площині пластини і проходить через її центр, з постійною кутовою швидкістю . По ободу пластини рухається точка . Закон цього руху задається рівнянням ; додатній напрямок - від к .

Визначити абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки в момент часу .

Дано: , ,

Визначити: ?

Розв’язування.

1. Об'єктом вивчення є точка .

2. Визначимо абсолютну швидкість точки .

Розглянемо рух точки як складний.

За відносний рух приймаємо рух точки по дузі пластини (тоді закон відносного руху стає відомим з умови). За переносний рух приймаємо обертальний рух самої пластини (кутова швидкість обертання якої також задана).

Швидкість точки в переносному русі залежить від відстані точки від осі обертання пластини. Тому, перед визначенням переносної швидкості варто визначити положення точки в розрахунковий момент часу . Це положення визначимо з закону руху по дузі , підставивши в нього відповідне значення :

(1)

Тоді кутова координата положення точки визначиться центральним кутом , а відстань точки від осі обертання дорівнює . Зобразимо точку в даному положенні на рисунку (рис.К4.б).

Визначимо швидкість точки у відносному русі по пластині, рух якої задано природним способом. Покажемо природні осі координат .

(2)

При маємо: .

Проекція > 0, тому вектор спрямований по дотичній до траєкторії відносного руху (дотична до дуги) вбік додатного відліку дугової координати (рис.К4.в).

Визначимо швидкість точки в переносному русі. Для цього уявимо, що відносного руху точки по пластині нема, тобто точка нерухома і належить пластині.

Тоді:

(3)

Вектор і спрямований, з врахуванням напрямку , по дотичній до кола радіуса h, тобто від нас.

Визначимо абсолютну швидкість точки як векторну суму відносної і переносної швидкостей, тобто:

(4)

У нашому випадку маємо . Тоді величина абсолютної швидкості:

= . (5)

3. Визначимо абсолютне прискорення точки (рис.К4.г).

Відповідно до теореми про додавання прискорень:

(6)

Відносний рух точки - є рух по колу радіуса в площині пластини. Тому відносне прискорення є геометричною сумою нормального і дотичного прискорень, тобто:

(7)

де (8)

(9)

Вектор лежить на дотичній до дуги і якщо < 0, то спрямований вбік від’ємного відліку . Вектор спрямований від точки до центру пластини .

Переносний рух – це рух точки по колу внаслідок обертання пластини з кутовою швидкістю . При цьому точка знаходиться на відстані від осі

обертання. Тому:

(10)

де (11)

(12)

Вектор спрямований від точки до осі обертання.

Прискорення Коріоліса знайдемо по формулі:

(13)

Вектор спрямований вздовж осі обертання у той бік, звідки обертання пластини видно проти руху годинникової стрілки (тобто в нашому випадку спрямований вправо). Тоді кут між і дорівнює . Визначимо модуль у момент часу :

(14)

Вектор за правилом Жуковського спрямований від нас.

Модуль абсолютного прискорення знайдемо, спроектувавши (6) на обрані осі :

(15)

(16)

(17)

Після підстановки числових значень знайдемо:

Таким чином, повне прискорення по величині дорівнює:

Відповідь.