Утворення стоячих хвиль

Розглянемо механізм утворення стоячих хвиль у довгій двопровідній лінії за спрощених умов,

вважаючи, що в лінії існують дві зустрічні незатухаючі монохроматичні хвилі з однаковими

амплітудами. Падаюча хвиля поширюється від генератора електричного вектора відстані х від початку лінії коливання мають вигляд

E (t, 0)= E 0sinω t На

E 1 = E 0sin(ω t − kx), (13.11.1)

де k = 2π λ, як і раніше, означає хвильове число. Відбита хвиля поширюється у протилежному

напрямку, тому в точці х електричний вектор описується формулою

E 2 = E 0sin(ω t + kx), (13.11.2)

де для спрощення розгляду відкинуто початкову фазу, яка залежить від довжини лінії та умови на її

кінці. Суперпозиція двох зустрічних хвиль дає такий результат:

E = E 1 + E 2 = 2 E 0cos kx sinω t. (13.11.3)

Амплітуда хвилі, тобто множник, який стоїть перед членом, що періодично залежить від часу, є

A = 2 E 0cos kx. (13.11.4)

В цій формулі проявляється характерна особливість стоячої хвилі. Вона полягає в тому, що, на

відміну від падаючої чи відбитої хвилі, які мають сталу амплітуду А, амплітуда стоячої хвилі

періодично залежить від координати, вздовж якої поширюється хвиля. В оптиці явище накладання двох світлових хвиль називається інтерференцією. В точках, пов’язаних умовою

kx = 2π x = 2 n π, (n = 0, 1, 2, 3, L) (13.11.5)

λ

амплітуда стоячої хвилі досягає максимуму

A = 2 E 0, тобто спостерігається пучність електричного

поля. Відстань між сусідніми пучностями визначається умовою

2π Δ x = Δ n π.

λ

Для Δ n =1 отримуємо

Δ x = λ. (13.11.6)

2

В точках, для яких виконується умова

2π ⎛ 1 ⎞

x = 2π⎜ n +

λ ⎝

⎟, (13.11.7)

2 ⎠

амплітуда коливань дорівнює нулю, тобто спостерігаються вузли електричного поля. Відстань між сусідніми вузлами теж визначається формулою (13.11.6). Відстань між сусіднім вузлом та пучністю

удвічі менша, тобто рівна λ 4.

Рис. 13.11.2. Коливання у стоячій хвилі.

Рис. 13.11.2 ілюструє розподіл електричного поля у стоячій хвилі у вибрані моменти часу. В точках між двома сусідніми вузлами коливання мають однакову фазу, тобто напруженість поля на всьому відрізку одночасно досягає максимуму, величина якого описується формулою (13.11.4), і одночасно повертається в нуль. Коливання в точках, які знаходяться по різні боки від вузла, мають протилежні фази.

Власні коливання у двопровідній лінії

Знайдемо умови виникнення стоячих хвиль для вільних коливань (у відсутності генератора

ЕРС) у двопровідній лінії скінченної довжини. Якщо лінія розімкнена на обох кінцях, то, виходячи з умови існування стоячої хвилі, на них повинні спостерігатися пучності електричного поля та вузли

магнітного поля. Оскільки інтервал між сусідніми пучностями дорівнює

λ 2, то в лінії існують такі

коливальні моди, для яких на довжині двопровідної лінії вкладається ціле число половин довжин хвиль, тобто виконується умова

l = n λ; (n = 1, 2, L). (13.11.8)

Якщо обидва кінці лінії закорочені, то на них спостерігаються вузли напруженості електричного поля та пучності магнітного поля й умова утворення стоячих хвиль збігається з попередньою (13.11.8).

Коливання, якому відповідає найбільша довжина хвилі

n = 1; λ = 2 l, називається основним тоном, а

інші обертонами. Нехай тепер один кінець двопровідної лінії розімкнений, а інший закорочений. Тоді для утворення стоячої хвилі необхідно, щоби на відкритому кінці існувала пучність електричного поля (вузол магнітного поля), а на закороченому вузол електричного поля (пучність магнітного поля). Ці умови задовольняє рівняння

l = (2 n −1)λ; (n = 1, 2,K). (13.11.9)