Глава 13. Фізичний зміст рівнянь електромагнетизму

ЕЛЕКТРОМАГНІТНЕ ПОЛЕ

13.1. Струм зміщення

Фізичний зміст рівнянь електромагнетизму

У попередніх розділах були сформульовані окремі закони електромагнітної теорії шляхом узагальнення експериментальних фактів. Коротко нагадаємо суть цих законів. Рівняння, наведені нижче, подаються в системі СГС.

1. Основний закон електростатики – теорема Остроградського-Гауса

∇ D = 4πρ

(2.8.6)

є узагальненням експериментального закону Кулона. Узагальнення стосується, перш за все, того факту, що закон Кулона описує взаємодію нерухомих точкових зарядів, тоді як формула (2.8.6) справедлива також і для рухомих зарядів. Використання вектора D замість Е має на меті узагальнення стосовно середовища, оскільки формула (2.8.6) описує електричне поле однаковим способом як у речовині, так і у вакуумі, тоді як аналогічне рівняння для Е містить додатковий

параметр – об’ємну густину поляризаційного заряду ∇ E = 4π(ρ+ ρ ').

2. Теорема Гауса для магнітного поля

∇ B = 0

(4.6.3)

математично описує вихровий характер магнітного поля, засвідчуючи тим відсутність магнітних зарядів.

3. Наступне рівняння

∇ × E = − 1 ∂ B

c ∂ t

(5.1.5)

виражає закон електромагнітної індукції, за яким існування змінного в часі магнітного поля в деякій точці простору означає існування в цій точці та в її околі вихрового електричного поля.

4. Закон, установлений при вивченні магнітостатики

∇ × H = 4π j, (8.4.3)

c

є узагальненням експериментального закону магнітної взаємодії стаціонарних електричних струмів.

Використання Н замість В дозволяє зменшити число фізичних параметрів у формулі, оскільки при

цьому у формулу для Н не входить струм намагнічування

входить ∇ × B = (4π c)(j + j').

j', тоді як у відповідну формулу для В він

5. Нарешті, при вивченні нестаціонарних струмів було отримано рівняння неперервності

∇ j = - ∂ρ, (3.5.8)

∂ t

яке описує закон збереження електричного заряду для нестаціонарних струмів. Для стаціонарного струму права частина цієї рівності дорівнює нулю.

Струм зміщення

Аналізуючи рівняння, наведені вище, можна зауважити, що між формулами (8.4.3) та (3.5.8)

існує певна невідповідність. Дійсно, якщо взяти дивергенцію від (8.4.3), то отримаємо, на відміну від

(3.5.8), що

∇[∇× H ]= 4π∇ j

c = 0, оскільки ліва частина рівності є скалярним добутком

перпендикулярних векторів. Тобто ми отримали рівняння неперервності для стаціонарного струму. Цей висновок передбачуваний, оскільки формула (8.4.3) виведена саме для стаціонарного струму, тобто й для незмінного в часі магнітного поля.

Ще одну невідповідність можна зауважити, аналізуючи разом рівняння (5.1.5) та (8.4.3). Закон електромагнітної індукції вказує на існування прямого механізму перетворення магнітного поля в електричне поле. Теорема про циркуляцію магнітного поля описує, на перший погляд, зворотний процес: електричне поле викликає електричний струм, який створює магнітне поле. Однак, цей механізм непрямий, оскільки перетворення полів відбувається за участю посередника – рухомих електричних зарядів. З іншого боку, можна навести багато прикладів існування взаємозв’язку фізичних явищ типу прямий ефект – обернений ефект (прямий – обернений п’єзоефект, піроелектричний ефект – електрокалоричний ефект тощо). Ці приклади, а також існування глибокого зв’язку електричних та магнітних явищ наводять на думку, що поряд із явищем електромагнітної індукції повинно існувати зворотне явище, тобто пряме перетворення змінного електричного поля в магнітне поле – магнітоелектрична індукція. Для врахування цього явища праву частину рівняння (8.4.3) необхідно доповнити відповідним членом. Існування тісного взаємозв'язку електричних і магнітних явищ означає, що електричні та магнітні вектори повинні симетрично входити в рівняння електромагнітного поля. Скориставшись цим міркуванням, запишемо член, який повинен відповідати

за магнітоелектричну індукцію, у вигляді, подібному до виразу, що стоїть у правій частині рівняння

(5.1.5). Тобто помножимо на 1 c

часткову похідну по часу від електричного вектора. Використаємо

вектор D, маючи на увазі, що він доповнює вектори B, H, E, які вже входять у рівняння. Формула

(8.4.3) набуде такого вигляду:

∇ × H = 4π j + 1 ∂ D. (СГС) (13.1.1).

c c ∂ t

Знак "+" перед шуканим членом не випливає з цих симетрійних міркувань і вибраний поки що довільно. В інтегральній формі запису маємо

Hdl = 4π

jdS + 1 d ∫ DdS. (СГС) (13.1.2)

∫ c ∫

c dt

Тепер необхідно потвердити правильність висунутої гіпотези щодо існування явища магнітоелектричної індукції. Спочатку переконаємося, що з урахуванням цього члена виконується закон збереження заряду (3.5.8). Для цього обчислюємо дивергенцію від обох частин рівняння (13.1.1), що дає

4π ∇ j + 1 ∂∇ D = 0. (СГС)

c c ∂ t

Врахувавши (2.7.6), отримаємо рівняння неперервності (3.5.8). Таким чином, уведення додаткового

члена

+ ∂ D c ∂ t

у праву частину рівняння (8.4.3) вирішує обидві проблеми: враховується прямий

механізм перетворення електричного поля в магнітне поле та задовольняється рівняння неперервності для нестаціонарних процесів.

Подамо рівняння (13.1.2) у вигляді

∫ Hdl =

4π ⎛ 1

⎜ I +

d ∫ DdS ⎞

⎟. (СГС)

Другий член у дужках

c ⎝ 4π

1 d DdS

dt ⎠

I зм = ∫

(СГС) (13.1.3)

4π dt

Максвелл, який розв’язував цю проблему, назвав струмом зміщення, оскільки цей вираз має розмірність сили струму й одночасно є функцією вектора зміщення. Густина струму зміщення, як випливає з (13.1.1),

j = 1

∂ D. (СГС) (13.1.4)

зм 4π ∂ t

Провівши відповідні перетворення в системі одиниць СІ, отримаємо

∫

d DdS

=

I зм

; (СІ) (13.1.3’)

dt

Jзм

= ∂ D. (СI) (13.1.4’)

∂ t

Таким чином, зміст гіпотези Максвелла відносно струму зміщення зводиться до твердження, що змінне електричне поле є джерелом магнітного поля. Тобто, якщо у деякій точці простору існує змінне в часі електричне поле, то в цій точці та її околі існує також магнітне поле. Це відкриття Максвелла еквівалентне відкриттю явища електромагнітної індукції, за яким змінне магнітне поле

породжує поле електричне.

Вектор зміщення в діелектрику записується як зміщення має дві компоненти

D = E + 4π P

(СГС), тобто густина струму

j = 1

∂ E + ∂ P. (СГС) (13.1.5)

зм 4π

∂ t ∂ t

Рис. 13.1.1. Визначення струму зміщення у конденсаторі.

Друга компонента струму зміщення не дає нічого нового, оскільки вона описує густину струму поляризації (3.7.9), спричиненого переміщенням (коливанням) поляризаційних зарядів речовини у змінному електричному полі. Поляризаційні заряди за своєю природою нічим не відрізняються від вільних зарядів, тому їхній струм природно приєднати до струму провідності. Внесок до магнітного поля від поляризаційного струму у формулі (8.4.3) відсутній, оскільки вона виводилася для

стаціонарного поля, тоді як поляризаційний струм існує лише у змінному електричному полі.

Принципово нове явище, таким чином, міститься у члені, який містить похідну

∂ E ∂ t. Цей внесок у

магнітне поле не пов’язаний з рухом електричних зарядів і присутній навіть у вакуумі.

Проілюструємо необхідність уведення струму зміщення в рівняння (8.4.3) на конкретному електричному колі, рис. 13.1.1. У коло увімкнено джерело змінної напруги та плоский конденсатор

ємності С. Нехай діелектрик між пластинами конденсатора з діелектричною проникністю ε

ідеальний, тобто струм провідності у ньому відсутній. Електричний опір провідника, навпаки,

вважаємо рівним нулеві. Змінний струм І утворює магнітне поле, циркуляція якого вздовж контуру l,

4π 4π

∫ Hdl = ∫ jdS = I.

c S c

Поверхня S для інтегрування може бути довільною, тобто проходити як через точку 1, так і через точку 2 чи 3; важливо лише, щоби поверхня опиралася на контур. В ідеальному провіднику електричне поле, тобто і струм зміщення відсутні. Якщо розтягнути поверхню настільки, щоби вона проходила через точку 3, не перетинаючи провідник із струмом, то внесок у циркуляцію Н тепер визначається виключно змінним електричним полем конденсатора – струмом зміщення. Внесок від

струму провідності тут відсутній відповідно припущенню щодо ідеальності діелектрика.

Покажемо, що струм зміщення визначається формулою (13.1.3). Заряд конденсатора

q = CU,

тобто струм у колі I = C dU

dt. Підставивши U = Ed

та C = ε S

4π d, отримаємо вираз

I = 1

4π

dD S,

dt

який з урахуванням однорідності електричного поля збігається з виразом для струму зміщення (13.1.3'). Таким чином, електричний струм у провіднику виявився рівним струму зміщення між обкладками конденсатора. Цей висновок підтверджується експериментально, тобто циркуляція Н не залежить од форми поверхні, яку пронизує струм.

В реальних випадках провідник має певний електричний опір, тому при протіканні струму у провіднику існує електричне поле. У свою чергу, реальний діелектрик має скінченний опір, тобто в ньому існує певний струм провідності. В загальному випадку циркуляцію Н у будь-якому перерізі електричного кола визначає як струм провідності, так і стум зміщення у пропорції, яка визначається властивостями конкретної ділянки кола. У зв’язку з цим Максвелл увів поняття повного струму

1 d

I п = I +

c dt

∫ DdS, (СГС) (13.1.6)

припустивши, що в нерозгалуженому колі він є інваріантною величиною

(Iп = const). Незалежність

повного струму від форми поверхні, що натягнута на один і той же контур, еквівалентна твердженню,

що повний струм крізь довільну замкнену поверхню завжди дорівнює нулю

⎛

∫⎜ j +

1 ∂ D ⎞

⎟ dS ≡ 0. (13.1.7)

⎝ c ∂ t ⎠

13.2. Система рівнянь Максвелла

Нижче подається в інтегральній та диференціальній формі та в обох системах одиниць СГС, СІ

система рівнянь Максвелла з урахуванням струму зміщення. Максвелл сформулював свою систему рівнянь у 60-х роках 19-го століття. На той час диференціальні операції, які ми сьогодні називаємо

ротор та дивергенція, ще не були придумані. Так само ще не був у вжитку оператор форма запису рівнянь Максвелла була запропонована Генріхом Герцом в 1900 р.

∇. Сучасна

СГС. Диференціальна форма рівнянь

∇ D = 4πρ; (13.2.1. д)

∇ B = 0; (13.2.2. д)

∇ × E = − 1 ∂ B; (13.2.3. д)

c ∂ t

∇ × H = 1 ∂ D + 4π j; (13.2.4. д)

c ∂ t c

j = σ E; (13.2.5. д)

D = ε E; (13.2.6)

B = μ H. (13.2.7)

СГС. Інтегральна форма рівнянь

∫ DdS = 4π∑ qi; (13.2.1. і)

∫ BdS = 0; (13.2.2. і)

1 d ∫ BdS

∫ Edl = −

c

1 d

dt

DdS

; (13.2.3. і)

4π

∫ Hdl = ∫ +

∑ I; (13.2.4. і)

c dt c k

I = U; (13.2.5. і)

R

D = ε E; (13.2.6)

B = μ H. (13.2.7)

СІ. Диференціальна форма рівнянь

∇ D = ρ; (13.2.1. д’)

∇ B = 0; (13.2.2. д’)

∇ × E = − ∂ B; (13.2.3. д’)

dt

∇ × H = ∂ D + j; (13.2.4. д’)

∂ t

j = σ E; (13.2.5. д’)

D = εε0 E; (13.2.6 д’)

B = μμ 0 H. (13.2.7 д’)

СІ. Інтегральна форма рівнянь

∫ DdS = ∑ qi; (13.2.1. і’)

∫ BdS = 0; (13.2.2. і’)

d ∫ BdS

∫ Edl = −

dt

; (13.2.3. і’)

d ∫ DdS

∫ Hdl = + ∑ I k

dt

; (13.2.4. і’)

I = U; (13.2.5’)

R

D = εε0 E; (13.2.6’)

B = μμ 0 H. (13.2.7’)

Повнота системи рівнянь Максвелла

Чотири рівняння (13.2.1) K (13.2.4), які зв’язують електричні, магнітні вектори, струм та електричні заряди диференціальними чи інтегральними співвідношеннями, називаються рівняннями

електромагнітного поля або польовими рівняннями. Два з них скалярні, інші два векторні, тобто

маємо шість скалярних рівнянь. Для знаходження векторних величин