 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
E, D, B, H, j
|
|
необхідно мати 15
скалярних рівнянь, тобто чотири польові рівняння ще не складають повної системи рівнянь електромагнітного поля. У зв’язку з цим Максвелл доповнив систему трьома рівняннями
(13.2.5)K(13.2.7). Ці так звані матеріальні рівняння визначають властивості середовища
поляризуватися, намагнічуватися та проводити електричний струм. Константи
ε, μ
та σ, тобто
електрична та магнітна проникність й питома електропровідність середовища описують відповідні
властивості речовини і визначаються експериментально. В ізотропному середовищі – це скаляри, тоді
як в анізотропному – тензори другого рангу. З урахуванням (13.2.5)K(13.2.7)
отримуємо 17
скалярних рівнянь, яких достатньо для визначення всіх величин, які входять у систему. Рівняння неперервності входить у систему рівнянь Максвелла неявно, як це випливає з аналізу, проведеному в попередньому параграфі.
Рівняння Максвелла та межові умови
Межові умови для електричних та магнітних векторів отримувались на основі рівнянь для потоку та циркуляції цих векторів, тобто з рівнянь, виражених в інтегральній формі. Отже, межові умови неявно входять в інтегральні рівняння (13.2.1. і) K (13.2.4. і). На переході через різку границю поділу двох середовищ електричні та магнітні вектори змінюються стрибком, тому координатні похідні від цих величин тут не визначені. Тобто з диференціальних рівнянь (13.2.1. д) K (13.2.4. д) межові умови не випливають і при необхідності система диференціальних рівнянь доповнюється цими умовами.
Про симетрію рівнянь Максвелла
Конструюючи вираз для струму зміщення, ми керувалися міркуванням, що між електричними та магнітними параметрами повинна існувати певна симетрія. Однак, в рівняннях (13.2.1)K (13.2.4) усе ще спостерігається асиметрія між електричними та магнітними величинами. Дійсно, потік чи дивергенція електричного вектора визначається електричними зарядами, тоді як відповідні функції магнітного вектора дорівнюють нулю внаслідок відсутності магнітного заряду, – або більш оптимістично – існування цього заряду поки що не підтверджено експериментально. З цієї ж причини циркуляція електричного вектора не визначається магнітним струмом, тобто впорядкованим рухом магнітних зарядів.
13.3. Хвильове рівняння для векторів поля
Факт існування електромагнітних хвиль випливає вже з попереднього аналізу системи польових рівнянь. Дійсно, якщо у деякій точці існує змінне у часі магнітне поле, то у цій же точці, а також у її околі повинно існувати змінне електричне поле, що засвідчується існуванням у (13.2.3. д)
координатної похідної
∇ × E. З рівняння (13.2.4. д) маємо, відповідно, що змінне електричне поле в
деякій точці породжує магнітне поле в цій точці та в її околі. Якщо електричний та магнітний вектори поля змінюються як у часі, так і у просторі, то вказані рівняння описують поширення електричного та магнітного поля у просторі – електромагнітну хвилю.
Хвильове рівняння для механічних процесів
Хвильовим рівнянням у математиці називається диференціальне рівняння другого порядку гіперболічного типу
Δ u − 1 v2
∂2 u
∂ t 2
= 0. (13.3.1)
Тут Δ – оператор Лапласа, u – фізична величина, яка описує хвильовий процес. Вона може означати:
величину відхилення від рівноважного положення малої ділянки натягнутої струни, відхилення
густини повітря від рівноважного значення при збудженні звукової хвилі тощо. Параметр v визначає швидкість поширення хвилі. В одновимірному випадку, коли хвиля поширюється вздовж координатної осі ОZ, із (13.3.1) отримуємо
∂2 u 1
−
∂ z 2 v2
∂2 u
= 0. (13.3.2)
∂ t 2
Рівняння (13.3.1), (13.3.2) описують хвильовий процес при спрощених обставинах, тобто у відсутності вимушуючих зовнішніх сил та сил, які спричиняють затухання коливань. Також нехтується нелінійністю середовища, в якому поширюється хвиля. В разі існування хоча б одного з
цих факторів процес поширення хвилі описується неоднорідним рівнянням типу
Δ u − 1 v2
|
= f (r ,t), (13.3.3)
∂ t 2
де f (r ,t) – деяка функція, яка враховує дію зовнішніх сил або/і нелінійність середовища.
Хвильове рівняння в ідеальному діелектрику
Приступаючи до аналізу електромагнітних хвильових процесів, обмежимося спочатку середовищем у вигляді ідеального однорідного ізотропного та лінійного діелектрика. Відповідно до
цієї умови маємо, що струм провідності відсутній (R → ∞), а ε та μ – скалярні константи. Крім
того, вважатимемо, що в діелектрику відсутні сторонні заряди (ρ= 0). З урахуванням цих умов
польові рівняння Максвелла набудуть такого вигляду:
∇ D = ∇ B = 0; (13.3.4)
∇ × E = − 1 ∂ B = − μ ∂ H; (13.3.5)
c dt
c ∂ t
∇ × H = 1 ∂ D = ε ∂ E. (13.3.6)
c ∂ t
c ∂ t
Два останні рівняння містять перехресні члени. Щоб позбутися цього, виконаємо операцію ротора для обох частин рівняння (13.3.5), а від обох частин (13.3.6) візьмемо часткову похідну по часу. Об’єднавши їх, отримуємо
c 2 ∂ t 2
Ліву частину цієї рівності можна записати у вигляді
∇ × [∇× E ]= ∇(∇ E)− (∇∇) E = −Δ E,
де враховано, що ∇ E = 0. В результаті отримуємо хвильове рівняння для електричного вектора
εμ ∂ 2 E
Δ E =
c 2
∂ t 2
. (СГС) (13.3.7)
Виконавши операцію ротора для рівняння (13.3.6), а похідну по часу для (13.3.5), отримаємо хвильове рівняння для магнітного вектора
εμ ∂ 2 H
Δ H =
c 2
∂ t 2
. (СГС) (13.3.8)
Відповідні перетворення у системі одиниць СІ дають таку систему рівнянь:
Δ E = εε0μμ0
Δ H = εε0μμ0
∂2 E
∂ t 2
∂2 H
∂ t 2
; (СІ) (13.3.7’)
. (СІ) (13.3.8’)
Раніше відзначалося, що константи
ε0 та μ0
не мають конкретного фізичного смислу, оскільки це
просто коефіцієнти пропорційності, введені у відповідні формули в СІ для узгодження між довільно вибраними одиницями вимірювання механічних, електричних та магнітних величин. Виявляється, що добуток цих величин має конкретний смисл, оскільки дорівнює квадратові оберненої швидкості світла у вакуумі
ε μ = 1
0 0 9×1016
сек 2
м2
= 1. (СІ) (13.3.9)
с 2
З урахуванням (13.3.9) рівняння для електричного та магнітного векторів у обох системах одиниць отримують однаковий вигляд. Більше того, рівняння (13.3.7) та (13.3.8) збігаються з рівнянням (13.3.1), виведеним на основі аналізу механічних хвильових процесів у припущенні, що швидкість поширення електромагнітної хвилі дорівнює
v = c
εμ
. (СГС, СІ) (13.3.10)
Величина
n = εμ
(СГС, СІ) (13.3.11)
в оптиці називається показником заломлення. Детальніше поняття швидкості поширення електромагнітної хвилі розглядатиметься далі (п. 13.7).
Хвильове рівняння для електропровідних середовищ
Ця задача відрізняється від попередньої тим, що розглядається реальний діелектрик, тобто такий, що має скінченний електричний опір. Електричне поле створює у ньому струм. Вхідні рівняння для цього середовища мають вигляд
∇ D = ∇ B = 0; ∇ × E = − 1 ∂ B; ∇ × H = 1 ∂ D + 4π j. (СГС)
c dt
c ∂ t c
Для зменшення числа невідомих використаємо закон Ома
j = σ E. Проробивши операції по
розділенню змінних, подібно до тих, які використано у попередньому прикладі, отримаємо
∂ E + 4πμσ ∂ E; (СГС) (13.3.12)
v2 ∂ t 2
c 2 ∂ t
∂ H + 4πμσ ∂ H; (СГС) (13.3.13)
v2 ∂ t 2
c 2 ∂ t
Δ E =
1 ∂2
E + μμ σ ∂ E; (СІ) (13.3.12’)
v2 ∂ t 2
0 ∂ t
∂ H + μμ σ ∂ H. (СІ) (13.3.13’)
v2 ∂ t 2
0 ∂ t
З рівнянь випливає, що джоулеві втрати, які відповідають за затухання електромагнітної хвилі,
визначаються першими похідними по часу від векторів поля.
13.4. Хвильове рівняння для потенціалів
Отримані вище хвильові рівняння стосуються електричного вектора Е та магнітного Н.
Електричне поле можна також задати скалярним потенціалом
E = −∇ϕ, а магнітне – векторним
потенціалом
потенціалів.
Β = ∇ × A. Отже, отримаємо хвильові рівняння для скалярного та векторного
Виразимо в рівнянні (13.2.3. д), яке описує закон електромагнітної індукції, індукцію магнітного поля через векторний потенціал
∇ × E = − 1 ∇ × ∂ A, (СГС)
c ∂ t
тобто
∇ × ⎛ E + 1
∂ A ⎞
⎟ = 0. (13.4.1)
|
Якщо ротор деякого вектора тотожно дорівнює нулю, то його завжди можна виразити як градієнт скалярної функції, тобто
E + 1 ∂ A = −∇ϕ,
c ∂ t
оскільки при цьому виконується умова
∇ × ∇ϕ ≡ 0. Знак "–" у правій частині поставлено з причини,
яка з’ясується нижче. В результаті закон електромагнітної індукції переходить у рівняння
E = −∇ϕ− 1 ∂ A. (13.4.2)
c ∂ t
Проаналізуємо цей вираз. Перший член у правій частині рівняння вказує, що величина
ϕ визначає
потенціальну компоненту електричного поля, тобто ϕ – це скалярний потенціал. Наступний член, як
неважко збагнути, описує вихрову компоненту електричного поля.
Запишемо рівняння (13.2.4. д) через скалярний та векторний потенціали. Маємо
1 ∇ × [∇× A ]= ε ∂ E + 4π j.
μ c ∂ t c
Розкриваючи вираз у лівій частині як подвійний векторний добуток, отримуємо
Δ A =
εμ ∂ 2 A
−
4πμ
j + ∇⎛ ∇ A +
εμ ∂ϕ ⎞
⎟. (13.4.3)
|
⎝ c ∂ t ⎠
Кількість членів у цій рівності можна зменшити, врахувавши невизначеність векторного потенціалу
(див. формулу (4.7.2)), тобто, зробивши відповідне калібрування. Для задач магнітостатики зручною
виявилась умова
∇ A = 0. У даному випадку зручно використати інший спосіб калібрування,
прирівнявши весь вираз у дужках у (13.4.3) нулеві, тобто
∇ A = − εμ ∂ϕ, (13.4.4)
c ∂ t
яка у випадку стаціонарного поля зводиться до (4.7.2). В результаті формула (13.4.3) спрощується й
набуває характерного для хвильового рівняння вигляду
A − 4πμ j. (СГС) (13.4.5)
c 2 ∂ t 2 c
Якщо затухання відсутнє, тобто
j = 0, то
Δ A = 1 v2
∂2 A
∂ t 2
. (СГС) (13.4.6)
Для отримання відповідного рівняння для скалярного потенціалу використаємо перше рівняння системи
∇ E = 4π ρ. (СГС)
ε
Замінивши Е згідно з (13.4.4), отримуємо
Δϕ + 1 ∂∇ A = − 4π ρ.
c ∂ t ε
Далі виражаємо ∇ A за допомогою (13.4.6), що дає
εμ ∂ 2ϕ 4π
Δϕ = − ρ. (СГС) (13.4.7)
Нарешті, якщо ρ = 0, то
c 2
Δϕ = 1
c 2
∂ t 2
∂2ϕ
∂ t 2
ε
. (СГС) (13.4.8)
Завдяки вибраному способу калібрування векторного потенціалу (13.4.4) отримано хвильові рівняння для векторного та скалярного потенціалу, еквівалентні хвильовому рівнянню (13.3.1).
13.5. Поперечний характер електромагнітних хвиль
Цю властивість електромагнітної хвилі розглянемо за умови, що вона поширюється в
ідеальному ізотропному діелектрику. З рівняння (13.3.5) випливає, що вектори
∇ × E
та − ∂ B ∂ t
паралельні, тобто Е та
∂ B ∂ t
взаємно перпендикулярні. В однорідному середовищі електромагнітна
хвиля поширюється прямолінійно, тому вектори В та
∂ B ∂ t
коливаються вздовж одного напрямку.
Отже, вектори Е та В електромагнітної хвилі в однорідному середовищі перпендикулярні між собою.
Аналізуючи подібним способом рівняння (13.3.6), приходимо до висновку про взаємну перпендикулярність векторів D та H. В ізотропному середовищі напрямки векторів E та D збігаються, як і В та Н. В анізотропному кристалі у випадку довільної орієнтації векторів поля відносно
елементів симетрії кристала напрямки векторів Е, Н можуть і не збігатися з напрямками відповідних їм векторів D, B, тобто взаємна перпендикулярність у загальному випадку має місце лише для пар
векторів
E ⊥ B, D ⊥ H. (13.5.1)
Визначимо тепер орієнтацію електричного та магнітного векторів відносно напрямку
поширення електромагнітної хвилі в ізотропному середовищі. Нижче формулами (а) K (е) записано рівняння (13.3.5), (13.3.6) у координатній формі. Маючи на увазі перпендикулярність векторів поля,
|
= E; E y
= Ez
= 0), а ОY –
|
= H; H x
= Hz
= 0), рис. 13.5.1. Праві частини рівнянь матимуть вигляд, як це
зображено справа від стрілок
(∇× E)
= ∂ Ez − ∂ E y = − μ ∂ H x
→ ∂ H x;
(13.5.2. а)
x ∂ y ∂ z
= 0
c ∂ t ∂ t
(∇× E)
= ∂ Ex − ∂ Ez
= − μ ∂ H y
→ ∂ Ex = − μ ∂ H y;
(13.5.2. б)
y ∂ z ∂ x
c ∂ t
∂ z c ∂ t
(∇× E)
∂ Ey ∂ E μ ∂ H
= − x = − z
→ ∂ Ex;
(13.5.2. в)
|
= 0
c ∂ t ∂ y
(∇× H)
∂ H ∂ H y
= −
= ε ∂ Ex
∂ H y
→ −
= ε ∂ Ex;
(13.5.2. г)
x ∂ y
∂ z c ∂ t
∂ z c ∂ t
(∇× H)
∂ H ∂ H
|
|
= ε ∂ Ey
∂ Ey
→
= 0;
(13.5.2. д)
y ∂ z
∂ x c ∂ t ∂ t
(∇× H)
∂ H y ∂ H ε ∂ E
= − x = z →
∂ H y = 0
(13.5.2. е)
z ∂ x
∂ y c ∂ t ∂ x
Рис. 13.5.1. Орієнтація векторів електромагнітної хвилі.
Розв’язком рівняння (а) є статичне магнітне поле
H x = const, яке не має відношення до
хвильового процесу. Аналогічно, рівняння (д) дає розв’язок для статичного електричного поля
E y = const. З рівняння (в) випливає, що електричний вектор не залежить від координати у, а з
рівняння (е) видно, що Н не залежить від х. Нарешті, із (б) та (г) випливає, що вектори
електромагнітного поля є функціями лише координати z, перпендикулярної до напрямків коливань Е та Н, оскільки лише похідні по цій координаті відмінні від нуля. Таким чином, в однорідному ідеальному та ізотропному діелектрику електромагнітна хвиля поширюється вздовж напрямку, перпендикулярного до векторів поля. Якщо взяти похідну по z від (б), а від (г) похідну по часу, то
після об’єднання рівнянь, отримаємо одновимірне хвильове рівняння (13.2.9) для електричного
вектора. На рис. 13.5.1 напрямок поширення електромагнітної хвилі паралельний вектору
k, який
разом із векторами поля утворює праву трійку векторів E, Н, k. Взаємна орієнтація векторів зберігається і в електромагнітній хвилі (наприклад, світла), відбитій від межі двох діелектриків. У відбитій хвилі напрямок k змінюється на протилежний і, оскільки взаємна орієнтація векторів не повинна порушуватися, то напрямок одного з векторів поля мусить змінитися на протилежний. Який саме з них змінює фазу на протилежну, залежить від співвідношення між величинами показників
заломлення середовищ.
13.6. Розв’язки хвильового рівняння
Загальний розв’язок хвильового рівняння
Отримаємо загальний розв’язок для одновимірного хвильового рівняння (13.3.1). Для цього запишемо його у загальному вигляді
∂2 u 1
−
∂2 u
= 0, (13.6.1)
∂η2
v2 ∂ t 2
де аргумент η
позначає відстань уздовж напрямку поширення хвилі, причому необов’язково, щоб
цей напрямок збігався з якою-небудь віссю координат. Уведемо інші змінні Φ1
лінійних комбінацій попередніх змінних t та η,
та Φ 2
у вигляді
Φ1 = ω t − k η, (13.6.2)
Φ2 = ω t + k η, (13.6.3)
де ω та k поки що довільні коефіцієнти. Вважатимемо аргументи Φ1 та Φ2
має розмірність сек −1, а розмірність k – см −1.
Перша похідна по координаті має вигляд
безрозмірними, тобто ω
∂ u ∂ u ∂Φ
∂ u ∂Φ
⎛ ∂ u
∂ u ⎞
= 1 + 2 = k ⎜− + ⎟.
Друга похідна
∂η ∂Φ1 ∂η
∂Φ2 ∂η
⎝ ∂Φ1
∂Φ2 ⎠
⎛ ∂2
⎜
u − 2
∂2 u
∂2 u ⎞
⎟
|
Друга похідна по часу
∂η ⎝ ∂Φ1
∂Φ1∂Φ2
∂Φ2 ⎠
∂2 u ⎛ ∂2
u + 2
∂2 u
∂2 u ⎞
|
2 ⎜ 2 2 ⎟
∂ t ⎝ ∂Φ1
∂Φ1∂Φ 2
∂Φ 2 ⎠
Підставивши ці вирази в (13.6.1), отримуємо
⎛ ω2 ⎞⎛ 2 u
2 u ⎞
⎛ ω2 ⎞ 2 u
⎜ k 2 −
⎟⎜∂
− ∂ ⎟ = 2⎜ k 2 + ⎟ ∂
. (13.6.4)
⎜ v2 ⎟⎜∂Φ2
∂Φ2 ⎟ ⎜
v2 ⎟ ∂Φ ∂Φ
⎝ ⎠⎝ 1
2 ⎠ ⎝
⎠ 1 2
Оскільки ω та k довіль ні коефіцієнти, то на них можна накласти додаткову умову
k = ω, (13.6.5)
v
яка дозволяє спростити хвильове рівняння до вигляду
∂2 u
∂Φ1∂Φ 2
= 0. (13.6.6)
Це так звана друга канонічна форма хвильового рівняння. Інтегруючи (13.6.6), наприклад, по
Φ1,
отримаємо
∂ U ∂Φ2 = C (Φ2), де С – константа, яка для рівняння з частинними похідними бути
функцією аргументу вигляді
Φ 2. Інтегруючи по
Φ 2, отримуємо загальний розв’язок рівняння (13.6.6) у
u = u 1 (Φ1)+ u 2 (Φ2)= u 1 (ω t − k η)+ u 2 (ω t + k η), (13.6.7)
де u 2 (Φ2)= ∫ C (Φ2) d Φ2. Як видно з розв’язку, u 1
та u 2
– довільні функції аргументів
Φ1 та
Φ 2,
відповідно. Виникнення у розв’язку довільних функцій є характерною особливістю рівнянь із частинними похідними. Таким чином, загальному розв’язкові хвильового рівняння відповідає
довільна функція двох аргументів
η, t за умови, що вони пов’язані між собою співвідношеннями
(13.6.2), (13.6.3) та виконується умова (13.6.5).
Зв’язок векторів електромагнітної хвилі
В рівняннях Максвелла пов’язуються між собою похідні за часом та координатами від електричного та магнітного векторів. Отже, повинен існувати певний зв’язок і між самими векторами поля. Для його знаходження використаємо рівняння в координатній формі для діелектричного середовища, наприклад, рівняння (б) у п. 13.7
∂ E = − μ ∂ H
. (13.6.8)
∂ z c ∂ t
Подамо цей вираз у вигляді похідних від одного й того ж аргументу – фази Φ = ω t − kz
k ∂ E
= μω ∂ H, (13.6.9)
∂Φ c ∂Φ
де k = −∂Φ ∂ z, а ω = ∂Φ ∂ t. Інтегрування рівняння (13.6.9) по змінній Φ дає шуканий зв’язок між
векторами електромагнітного поля
ε E =
μ H; (СГС) (13.6.10)
εε0 E =
μμ0 H; (СІ) (13.6.10’)
Тут враховано, що
η = z
і потім
v = c
εμ. Константа інтегрування відкинута, оскільки
електромагнітну хвилю утворює лише змінне в часі та просторі електричне та магнітне поле.
Піднявши (13.6.10) до квадрата, отримаємо в обох частинах рівності вирази, пропорційні густині енергії електричного та магнітного поля
ε E 2 = μ H 2. (СГС) (13.6.11)
Тобто електричне та магнітне поле електромагнітної хвилі переносять однакову енергію, хоча в
речовині (ε, μ≠ 1)амплітуди векторів поля мають неоднакові значення. Зазначимо, що цей висновок
стосується лише середньої енергії поля, оскільки формула (13.6.10) отримана шляхом інтегрування
вихідного рівняння (13.6.8).
13.7. Плоска електромагнітна хвиля
Плоска хвиля є найпростішим типом хвиль. У плоскій хвилі вектори поля залежать лише від
однієї координати. Аргумент
η у хвильовому рівнянні (13.6.1) визначає відстань, яка відкладається
вздовж напрямку поширення хвилі. Нехай хвиля поширюється вздовж додатного напрямку
координатної осі OZ, тобто
η = z. Найпростіший розв’язок хвильового рівняння отримаємо,
припустивши, що коливання векторів електричного та магнітного поля описуються гармонічними
закономірностями
E = E 0sin(ω t − kz + α0); (13.7.1)
). (13.7.2)
Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що ці вирази є розв’язками одновимірного хвильового рівняння (13.3.2) за додаткової умови (13.6.5). Такий розв’язок із причини, що буде з’ясована нижче, називається плоскою монохроматичною електромагнітною хвилею. Використаємо цей простий приклад для встановлення основних параметрів електромагнітної хвилі.
Фаза та фазова швидкість хвилі
Аргумент функції, яка описує хвильовий процес, тобто
Φ = ω t − kz + α0, (13.7.3)
називається фазою електромагнітної хвилі. Параметр ω визначає кутову (циклічну) частоту хвилі
ω = 2πν = 2π, (13.7.4)
T
ν – лінійна частота, Т – період коливань електромагнітної хвилі. Абсолютне значення хвильового
вектора
k = ω = 2π, (13.7.5)
v λ
називається хвильовим числом або просторовою частотою. Тут λ = v T
– довжина електромагнітної
хвилі в середовищі; ϕ0 визначає початкову фазу ϕ0 = Φ(t = 0, z = 0). Розв’язок хвильового рівняння у
вигляді гармонічних залежностей (13.7.1), (13.7.2) передбачає згідно з (13.7.5) існування хвилі лише
однієї довжини, що і зумовило назву монохроматична хвиля.
Повертаючись до загального розв’язку хвильового рівняння (13.6.7), можна зробити висновок,
що функція
u 1 (ω t − k η) описує хвилю, яка поширюється у бік зростання відстані
η, тоді як функція
u 2 (ω t + k η)описує хвилю, яка поширюється у протилежному напрямку.
Поверхня, всі точки якої мають однакову фазу, називається хвильовим фронтом. Згідно з
(13.7.3) рівняння хвильового фронту
ω t − kz = const. (13.7.6)
Зафіксувавши час t = τ, в (13.7.3), отримуємо рівняння площини, перпендикулярної до координати z,
уздовж якої поширюється хвиля. Власне, завдяки цій властивості даний розв’язок називається
плоскою хвилею. Диференціювання рівняння (13.7.6) дає ω dt − kdz = 0, тобто
dz = ω = v. (13.7.7)
dt k
Отже, параметр v, який ми досі називали просто швидкістю поширення хвилі, набуває точного змісту – це швидкість поширення фронту, тобто хвильової поверхні однакової фази – фазова швидкість.
Амплітуда хвилі
Амплітудою А називається максимальне значення електричного чи магнітного вектора хвилі,
тобто – це множник біля члена, який періодично залежить од часу. У випадку плоскої незатухаючої
хвилі амплітуда є сталою величиною
A = E 0, H 0. Якщо в середовищі існують вільні заряди, то
частина енергії хвилі витрачається на збудження електричного струму, тому амплітуда хвилі зменшуватиметься з часом. В однорідному середовищі це спадання описується експоненціальною
залежністю
A = A 0 exp(− χ t), де
χ – коефіцієнт затухання амплітуди хвилі. Амплітуда сферичної
хвилі (див. п. 13.8) спадає обернено пропорційно відстані r навіть у відсутності затухання. У стоячій хвилі амплітуда періодично залежить від координати (див. п. 13.11).
Загальний розв’язок для плоскої хвилі
Розглянемо загальний випадок, коли плоска хвиля поширюється вздовж вектора r, довільно орієнтованого відносно координатних осей, рис. 13.7.1. Якщо в точці А в довільний момент часу t
фаза має значення
Φ A = ω t + α0, то в точці В у цей же момент часу значення фази
Φ B = ω t − kr + α0. Прив’яжемо тепер r до довільної системи координат, виразивши його довжину
через довжини радіус-векторів точок А та В:
вигляд
r = R cosβ − R 0cosβ0. Фаза хвилі в точці В матиме
Φ = ω t − kR cos β + α, (13.7.8)
де α = α0 + kR 0cosβ0 – нове значення початкової фази. Вираз
kR cosβ
можна подати у вигляді
скалярного добутку векторів k та R, тобто
kR = kR cos β. Новий вектор k називається хвильовим
вектором. Хвильовий вектор в ізотропному середовищі напрямлений перпендикулярно до фронту хвилі, тобто збігається з напрямком переміщення фронту, а модуль його дорівнює хвильовому числу (13.7.5). Таким чином, у випадку довільного розміщення системи координат монохроматична плоска електромагнітна хвиля описується формулами
E = E 0sin(ω t − kR + α0); (13.7.9)
H = H 0sin(ω t − kR + α0), (13.7.10)
де R – радіус-вектор точки хвильового фронту і k – хвильовий вектор.
Рис. 13.7.1. Поширення хвилі в довільному напрямку.
13.8. Сферичні хвилі
Сферичній хвилі відповідає хвильовий фронт, який поширюється з однієї точки у вигляді сфер,
рис. 13.8.1. Враховуючи симетрію, характерну для цієї хвилі, можна стверджувати, що функція, яка її
описує, повинна залежати від довжини радіус-вектора r (r = η)в цілому, тобто відстані від центра до
поверхні сферичного фронту, де r =
фаза має вигляд Φ = ω t − kr.
x 2 + y 2 + z 2. Вектори k та r сферичної хвилі паралельні, тому
Для знаходження функції
φ(r,t)
(= E (r,t) ,H (r,t)), які задовольняють хвильове рівняння для
зазначених умов, обчислимо похідні другого порядку за координатами x, y, z та часом. Перша похідна по х має вигляд
∂φ = ∂φ ∂ r = φ ' x,
∂ x
де φ ' = ∂φ ∂Φ. Друга похідна
∂ r ∂ x r
∂ 2φ x 2
=
1 ⎛ x
|
|
|
2 ⎞
|
'' 2 2
∂ x 2 r 2
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
де φ
= ∂ φ ∂Φ
. Похідні по y та z матимуть подібний вигляд і сума всіх похідних є
Δφ = φ '' + 2 φ '. (13.8.2)
r
Хвильове рівняння набуде вигляду
''
2 '
1 ∂2φ
φ + φ
r
=
v2 ∂ t 2
, (13.8.3)
тобто, як і передбачалось, у нього явно не входять залежності від окремих координат. Ця властивість дозволяє припустити, що рівняння (13.8.3) можна звести до вигляду одновимірного хвильового
рівняння (13.6.1), де узагальненою координатою η є відстань від центра хвилі r. Неважко
пересвідчитися, що ліву частину рівняння (13.8.3) можна записати у вигляді
φ ''
+ 2 φ =
1 d 2 (r φ)
. (13.8.4)
r r dt 2
Помноживши обидві частини рівняння (13.8.3) на r, і, врахувавши лінійну незалежність змінних r та t,
отримаємо шукане одновимірне хвильове рівняння для функції r φ
d 2 (r φ) 1
=
dr 2 v2
d 2 (r φ)
dt 2
. (13.8.5)
Як було з‘ясовано в п. 13.6, розв’язком цього рівняння є довільна за аналітичним виглядом функція
u (x,y,z,t), але така, що залежить від лінійної комбінації змінних (13.6.2). Таким чином, ми повинні
покласти
r φ(r,t)= u 1 (ω t − kr), (13.8.6)
тобто розв’язком сферичної хвилі є функція
φ(r,t)= 1 u (ω t − kr). (13.8.7)
r 1
Тут не використано розв’язок
u 2 (ω t + kr), оскільки йому відповідає зворотний рух від периферії до
центру, що є досить специфічним випадком для хвилі такого типу.
Рис. 13.8.1. Сферична хвиля.
Таким чином, у випадку монохроматичної сферичної хвилі маємо
E (r,t)= E 0 sin(ω t − kr); (13.8.8)
r
H (r,t)= H 0 sin(ω t − kr). (13.8.9)
r
На відміну від плоскої хвилі, амплітуда якої у непровідному середовищі стала, амплітуда сферичної хвилі спадає обернено пропорційно відстані від центра кривизни хвильового фронту.
13.9. Закон збереження енергії електромагнітного поля. Вектор Пойнтінга
поля
Попередній аналіз
Відомо, що з електричним та магнітним полем пов’язана енергія. Густина енергії електричного
, (СГС) (2.11.9)
і магнітного поля
e 8π
. (СГС) (5.4.5)
m 8π
Енергія електромагнітного поля в деякому об’ємі речовини визначається за формулою
dV +
μ H 2
dV. (13.9.1)
∫ 8π
∫ 8π
Енергія статичного поля не залежить від часу, оскільки статичне поле – це поле, яке поширилось і надалі не змінюється. Електромагнітна хвиля – це поширення змінного електромагнітного поля у просторі, тому його енергія в деякому вибраному об’ємі може змінюватись внаслідок переміщення хвилі з одного місця в інше, подібно до переміщення заряду електричним струмом. Крім того, в об’ємі можуть існувати джерела електромагнітних хвиль, наприклад, збуджені атоми, які генерують електромагнітну хвилю, затрачуючи на це енергію інших видів. Одночасно в речовині може відбуватися зворотний процес, коли електромагнітне поле виконує роботу, наприклад, внаслідок збудження електричного струму, енергія якого, зрештою, переходить у тепло Джоуля. Ці факти вимагають формулювати закон збереження енергії електромагнітного поля таким чином, аби він ураховував переміщення енергії хвилі крізь поверхню, що оточує вибраний об’єм. Тут повинна допомогти математика. Вона оперує абстрактними поняттями, внаслідок чого незалежні, на перший
погляд, явища можуть описуватись однаковою математичною формулою. Наприклад, вираз
x = x 0exp(− t
τ) описує затухання струму в RC - та RL- колі, радіоактивний розпад, поглинання світла в
речовині та ін. З точки зору термодинаміки всі ці випадки є проявами одного й того ж процесу – релаксації у системах із значним числом частинок. Виходячи з цих міркувань, можна припускати, що закон збереження електричного заряду, математичною інтерпретацією якого є рівняння неперервності для нестаціонарних струмів та закон збереження енергії електромагнітного поля повинні належати до споріднених явищ, тобто описуватись однаковою математичною формулою.
Рівняння неперервності для нестаціонарного струму
∂ρ = −∇ j
∂ t
(3.5.8)
виражає той факт, що при витіканні електричного заряду з об’єму, заряд в об’ємі змінюється на таку ж величину, маючи при цьому протилежний знак. Заряд переноситься електричним струмом густиною j. Очевидно, що в законі збереження енергії електромагнітного поля величиною, еквівалентною електричному зарядові, виступає енергія. Вираз у лівій частині (3.5.8) можна
розписати як
∂ρ ∂ ⎛ ∂ q ⎞
∂ ⎛ ∂ q ⎞
= ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟. (13.9.2)
∂ t
Аналогічно для густини енергії
∂ t ⎝ ∂ V ⎠
∂ V ⎝ ∂ t ⎠
∂ u ∂
⎛ ∂ U ⎞
= ⎜
∂ t ∂ V ⎝ ∂ t
⎟. (13.9.3)
⎠
Символ j у правій частині (3.5.8) виражає густину струму
∂ ⎛ ∂ q ⎞
j = ⎜
⎟. (13.9.4)
∂ Sn ⎝ ∂ t ⎠
Еквівалентна енергетична величина запишеться як
∂ ⎛ ∂ U ⎞
Π = ⎜
∂ S n ⎝ ∂ t
⎟. (13.9.5)
⎠
Продовжуючи аналогію, можна стверджувати, що вектор П, подібно до густини струму, визначає густину потоку енергії. Необхідно мати на увазі, що електричний заряд зберігається в абсолютному розумінні, тобто в межах сьогоднішніх уявлень про його природу можна стверджувати, що сума всіх зарядів Всесвіту залишається незмінною. Відносно енергії електромагнітного поля подібного висновку зробити не можна, адже електромагнітна енергія може як збільшуватися за рахунок енергії інших видів внаслідок випромінювання із джерел, так і зменшуватися внаслідок перетворення її в енергію електричного струму в провідниках. Таким чином, ми записуємо закон збере
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 438 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
