Формула Ланжевена

Проведемо повний аналіз задачі, тобто, не обмежуючи величини параметра b. За означенням вектора поляризації маємо для одиниці об’єму

n

P = ∑ p i.

i =1

Оскільки Р та Е паралельні вектори, то в суму дають внесок лише проекції дипольних моментів

молекул на напрямок поля, тобто

n

P = p ∑ cos θ i,

i =1

де θ i – кут між

pi та Е. Виходячи з означення середнього арифметичного

n

〈cos θ〉 = ∑ cos θ i n,

i =1

попередню формулу можна записати в такому вигляді:

P = np cos θ

. (2.15.3)

Рис. 2.15.1. До виведення формули Ланжевена.

Таким чином, задача звелася до знаходження середнього значення косинуса кута між р та Е. Для його

обчислення використаємо теорему про середнє значення

〈cos θ〉 = ∫cos θ dw. Тут

dw = dn n –

елементарна ймовірність, де dn – число молекул в одиниці об’єму, дипольні моменти яких мають

орієнтацію в межах од θ до

θ + d θ, а п – загальна концентрація їх. У стані термодинамічної

рівноваги ймовірність того, що система має енергію U, описується формулою Больцмана

exp(− U

kT), де U = − pE cos θ. Крім того,

dn, тобто й dw

пропорційні величині тілесного кута

d Ω,

утвореного двома конічними поверхнями з кутами між віссю та твірними

θ, θ + d θ, в межах якого

ймовірність практично не змінюється, (рис. 2.15.1). Отже, вираз для елементарної ймовірності можна записати у вигляді

⎛ pE cos θ ⎞

dw = A exp ⎜

⎝

k BT

⎟ d Ω, (2.15.4)

⎠

де елемент тілесногог кута d Ω = 2πsin θ d θ, A – константа нормування, яка визначається з умови

U max

∫ dw = 1. (2.15.5)

U min

Зробивши заміну

x = cos θ, та, врахувавши (2.15.1), отримуємо

cos θ

∫ x exp(bx) dx

= −1, (2.15.6)

I

де І – табличний інтеграл

I = ∫ exp(− bx) dx =(eb + e − b) b. Інтеграл у чисельнику можна обчислити по

−1

частинах або способом диференціювання по параметру b, зауваживши, що похідна dI

з виразом у чисельнику (2.15.6). Отримуємо

db збігається

〈cos

θ〉 = L (b)= cth b −1 /b, (2.15.7)

де cth b = (eb + e − b)(eb − e − b)– гіперболічний котангенс. Залежність

L (b)

називається функцією

Ланжевена на честь французького фізика Поля Ланжевена, який отримав її в 1905 р., правда, розв’язуючи іншу задачу – намагнічування газу парамагнітних молекул. Таким чином, поляризовність газу полярних молекул описується формулою

⎛ pE

P np cth

k BT ⎞. (2.15.8)

= ⎜ −

⎝ k BT

⎟

pE ⎠

Вона складним способом залежить як од напруженості поля, так і температури.

Для обчислення значення коефіцієнта С у (2.15.2) отримаємо вираз для діелектричної сприйнятності в наближенні слабкого поля. З цією метою розкладемо експоненти в ряд по малому параметру b до третього члена включно. Звівши вираз до спільного знаменника, отримуємо

P = np

.

2 b

3(2 + b 2 3)

Оскільки b << 1, то можна знехтувати членом b 2

3 у знаменнику, що дає

P = np

E. (СГС, СІ) (2.15.9)

3 kT

Таким чином, коефіцієнт пропорційності С в наближеній формулі (2.15.2) дорівнює C = 1 3.

В СГС P = α E, тобто орієнтаційна сприйнятність

np 2

В СІ P = ε 0 α E, тобто

α ор =

α ор =

3 k BT

np 2

. (СГС) (2.15.10)

. (СІ) (2.15.10’)

3ε0 k BT

Оцінимо величину орієнтаційної сприйнятності та порівняємо її з електронною сприйнятністю.

Дипольний момент молекули води

p = 6, 2 ×10−30Кл ⋅ м. Для нормального тиску та температури

100o C

концентрація молекул насиченої водяної пари

n = 2, 6×1025м-3. Підставивши значення

величин у формулу (2.15.10’), отримуємо

α ор ≈ 0, 01. Для повітря, в поляризацію якого основний

внесок дає електронна пружна компонента,

α ел = 5, 76 × 10 −4. Тобто орієнтаційна сприйнятність на

два порядки перевищує сприйнятність, зумовлену пружними механізмами поляризації.

Нарешті, оцінимо, для яких значень напруженості поля параметр b можна вважати малим.

Вибравши температуру отримаємо

T =100 K, тобто дещо вищу від температур зрідження атмосферних газів,

b = 6, 2 ×10

−30 E

= 4, 5 ×10− 9 E.

1, 38 ×10− 23 ×100

Максимальне значення напруженості поля у повітрі при атмосферному тиску складає

Eпр

= 3×106В м

(напруженість пробою), що дає

b ~ 10−3<< 1. Таким чином, при температурах

100 K

і вище спрощена формула (2.15.10) досить точно описує поляризацію газу.

2.16. Поляризація кристалів. Тензорний характер діелектричної сприйнятності та проникності

У кристалах, на відміну від аморфних речовин, електричні властивості яких досі розглядалися, існує строгий порядок у розміщенні структурних елементів – атомів, молекул чи іонів. Вони, періодично розташовуючись, утворюють ряди, площини й, нарешті, тривимірну кристалічну структуру – ґратку, яка внаслідок такої впорядкованості має певну симетрію. Кажуть, що у кристалах існує дальній порядок, тоді як в аморфних речовинах існує порядок ближній. В останньому випадку розміщення структурних елементів, найближчих до вибраного, теж характеризується певною симетрією за деякими винятками. Зі збільшенням відстані від заданого вузла число порушень у розміщенні атомів наростає і між положеннями віддалених елементів аморфної структури стає відсутньою будь-яка кореляція. Наслідком цього є ізотропність макроскопічних властивостей аморфних речовин.

До елементів симетрії кристала належать осі симетрії, площини дзеркального відбивання та

інверсія, тобто відбивання в точці. Вісь симетрії характеризується порядком

n = 360 ϕ, де ϕ –

найменший кут, на який необхідно повернути кристал, аби сумістити ідентичні вузли ґратки. З

просторовою кристалічною структурою сумісні осі симетрії

C 6, C 4, C 3, C 2, C 1. Індекси позначають

порядок осей симетрії. Значення

n = 1 означає відсутність обертової симетрії, тобто для суміщення

структури тіло необхідно повернути на 360o.

Рис. 2.16.1. Приклади елементарних комірок кристалів різних категорій: а) вища; б) середня;