Метод електричних зображень 4 страница

переміщення відбувається повільно, то отримуємо однакові модулі моментів

M зовн =

p × E = рЕ sinθ, тобто dA = pE sinθ d θ.

В цій задачі безмежно віддалені точки неактуальні, тому енергію, пов’язану з обертанням

диполя, можна виразити через невизначений інтеграл

прийнято відкидати, тобто

U = ∫ pE sinθ d θ + C. Сталу інтегрування

U = − pE cos θ = − pE. (2.11.12)

Відкидання константи інтегрування задає конкретний спосіб калібрування енергії диполя.

Енергія диполя прирівнюється нулеві для перпендикулярної орієнтації диполя відносно напрямку

поля. Для паралельної орієнтації р та Е енергія диполя має мінімальне значення U min = − pE, тобто досягається стійка рівновага. Для антипаралельної орієнтації енергія диполя максимальна U max = pE.

Взаємодія статичного та індукованого диполів

Електричне поле статичного диполя з моментом

p 0 індукує дипольний момент р в атомі, який

знаходиться на відстані r від статичного диполя, рис. 2.11.5. Необхідно знайти силу взаємодії цих диполів та їхню взаємну енергію.

Рис. 2.11.5. Статичний та індукований диполі.

Електричне поле статичного диполя вздовж його напрямку згідно з (1.11.7) дорівнює

E = 2 p 0

r 3. Індукований дипольний момент атома

p = ε − 1 × 2 p 0.

p = α E, тобто

4π r 3

Сила взаємодії диполів знаходиться за формулою (1.11.9), що дає

3(ε−1) p 2 r

F = − 0. (1.11.10)

π r 7 r

За визначенням енергія взаємодії дорівнює роботі сторонніх сил

атома із безмежності в точку r, F = − Fcm, тобто

Fст

при повільному переміщенні

r

U = − ∫ Fdr = −

A

, (1.11.11)

де A = 18 (ε−1) p 2 π.

∞ r r

Одиниця енергії електрон-вольт

Один електрон-вольт (еВ, eV) дорівнює зміні кінетичної енергії вільного носія елементарного

заряду

e = 1,6 ×10−19 Кл

внаслідок переміщення його між точками з різницею потенціалів 1 В.

Оскільки в СІ 1 Дж = 1 В ⋅1Кл, то

1еВ =1,6 ×10-19 Дж =1,6 ×10-12 ерг. (2.11.13)

Незважаючи на позасистемний статус, ця одиниця енергії широко застосовується у фізиці твердого

тіла, оптиці, атомній фізиці та в інших дисциплінах. Популярність її зумовлена тим, що характерні значення енергії в атомах, у твердому тілі, а також енергія квантів світла мають порядок одиниць чи десятих часток електрон-вольта.

2.12. Деполяризаційне поле

Деполяризаційне поле

E' – це частина макроскопічного поля в діелектрику, джерелом якого є

поляризаційні заряди. З урахуванням деполяризаційного поля загальне поле виявляється меншим від зовнішного. Поляризаційні заряди виникають у місцях неоднорідності діелектрика, тобто й на

поверхні, тому величина та напрямок деполяризаційного поля залежать від форми діелектричного

тіла та його орієнтації відносно зовнішнього поля. Розглянемо прості приклади визначення E ' в

однорідних діелектричних тілах симетричних форм, вміщених в однорідне зовнішнє поле.

Плоско-паралельна діелектрична пластинка

На рис. 2.12.1. а зовнішнє поле складає довільний кут θ 0

із нормаллю до великої грані

діелектричної пластинки. Поляризація в однорідному полі теж однорідна. Деполяризаційне поле

E' = 4π k σ '

перпендикулярне до грані пластинки. Напрямок поля Е складає деякий кут

θ ≠ θ 0 із

нормаллю. Знайдемо залежність деполяризаційного поля від зовнішнього. Для цього запишемо

рівняння

E = E 0

+ E' у проекціях на нормаль до грані

E cos θ = E 0 cos θ0

− E '. (2.12.1)

Використавши формулу P = (ε−1) E

'

4π та P cos θ = σ ' = − E '

ε − 1

4π, отримуємо

E = E 0

ε cos θ0. (2.12.2)

З останньої формули видно, що деполяризаційне поле залежить від орієнтації пластинки відносно

зовнішнього поля. Якщо зовнішнє поле спрямувати перпендикулярно до робочих граней (θ0 = θ = 0),

то залежність вектора поляризації від деполяризаційного поля визначається формулою

E ' z = −4π kPz. (2.12.3)

Рис. 2.12.1. Діелектричні тіла в однорідному полі: а) плоско-паралельна пластинка;

б) діелектрична куля.

Якщо поле паралельне до великих граней пластинки, то поляризаційні заряди виникнуть лиш на її вузьких віддалених гранях. За умови, що ширина пластинки значно перевищує її товщину,

можна знехтувати внеском од цих зарядів у сумарне поле поблизу центру пластинки. Тобто для цієї

орієнтації деполяризаційне поле відсутнє

E

y

x

' = E'

= 0.

Аналогічний висновок отримаємо безпосередньо з формули (2.12.1), поклавши

θ0 = π 2. В цьому

випадку поляризовність діелектрика визначається лише полем сторонніх зарядів, тобто

P( θ =π 2 ) = (ε−1) E 0

4π = ε P( θ =0 ). (СГС)

Якщо з рівності (2.12.1) вилучити E '

відношення

(E ' = 4πσ ' = 4π P cos θ = (ε−1) E cos θ), то отримаємо

E 0 =

E

cosθ ε,

cosθ 0

з якого видно, що у випадку довільної орієнтації граней пластинки відносно зовнішнього поля

(cosθ ≠ cosθ0) умова (2.10.3) не виконується, тобто E 0

E ≠ ε.

Однорідна діелектрична куля

У макроскопічному наближенні поляризацію діелектричної кулі в однорідному полі можна уявити як результат зміщення у протилежних напрямках двох куль із рівномірно розподіленими у

них зарядами Q та − Q

на деяку відстань x без зміни їхньої форми, рис. 2.12.1. б. Деполяризаційне

поле дорівнює суперпозиції полів цих зарядів

E' = E + + E -. Використавши формулу для поля в

середині рівномірно зарядженої кулі (1.6.4), маємо

E' = − kQ x = − k

p. (2.12.4)

Величина

p = Q x

R 3 R 3

визначає дипольний момент поляризованої кулі. Враховуючи, що

P = p V,

отримуємо однорідне деполяризаційне поле

, 4π k

E = − P. (2.12.5)

Таким чином, повне макроскопічне поле всередині діелектрика однорідне й дорівнює

E = E 0

− 4π k P. (2.12.6)

На відміну від внутрішнього, зовнішнє поле неоднорідне. Воно є суперпозицією однорідного поля

сторонніх зарядів

E 0 та поля диполя з моментом

p = Q x. Якісно картина поля в діелектричній кулі

та за її межами передається системою силових ліній на рис. 2.12.1. б.

В п. 2.10 було показано, що напруженість поля в діелектрику послаблюється в ε

раз лиш у

випадку однорідного лінійного діелектрика з додатковою умовою, за якою лінії поля повинні бути перпендикулярними до його поверхні. В даному випадку, як і в попередньому ця умова не

виконується, тому можна очікувати, що відношення E 0

E ≠ ε. Дійсно, підставивши значення

E ' з

(2.12.5) у формулу

E = E 0 + E', та, врахувавши, що

P = (ε−1) E

4π (СГС), отримуємо

E 0 = ε + 2 ≠ ε

. (2.12.7)

E 3

Деполяризаційні коефіцієнти

Розглянуті приклади обчислення деполяризаційного поля стосуються так званих ідеальних діелектричних тіл, до яких належить еліпсоїд загального вигляду та його часткові форми. Плоско-

паралельна пластинка товщиною d є окремим випадком еліпсоїда, коли довжина однієї з головних

півосей c = d

2, тоді як дві інші a = b = ∞. Для кулі маємо a = b = c = R. До ідеальних тіл належить

також безмежно довгий еліптичний та круговий циліндри. Для останнього маємо

a = b = R;c = ∞.

Спільною властивістю ідеальних діелектричних тіл є однорідна поляризація їх в однорідному зовнішньому полі. В указаних випадках компоненти деполяризаційного поля описуються узагальненою формулою

E

i

' = −4π k η i Pi. (2.12.8)

Тут індекс і оббігає значення

i = x, y, z. Множник η i

залежить од форми діелектричного тіла та

орієнтації поля відносно осей симетрії цього тіла і називається коефіцієнтом деполяризації, або ще

форм-фактором. Для параметра η існує інваріанта

η x + η y + η z =1. (2.12.9)

Для плоско-паралельної пластинки маємо

η z = 1, ηx = η y = 0, для сфери

η x = η y = η z =1 3. Для

діелектричного безмежно довгого кругового циліндра в полі, спрямованому вздовж його осі z, маємо

η z = 0, тобто деполяризаційне поле вздовж осі відсутнє, як і у відповідному випадку для плоско-

паралельної пластинки. Для поперечних напрямків, виходячи з умови (2.12.9), отримуємо

η x = η y =1 2, тобто деполяризаційне поле дорівнює

x

E ',y = −2π kPx,y. (2.12.10)

2.13. Локальне поле в діелектрику