 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Метод електричних зображень 2 страница
|
|
приладу (макроскопічного), що вимірює величину дипольного моменту. Дійсно, із виразу для
доцентрової сили
m ω2 r = e 2 r 2
для
r = 10−8 см
отримуємо
T = 2π ω = 4 ×10 −16 c. За час
вимірювання τ електрон устигає зробити багато обертів, тому дипольний момент атома, усереднений
за цей проміжок, дорівнює нулеві.
Рис. 2.7.1. До поляризації атома
Квантова теорія не використовує поняття орбітального руху, оскільки для цього необхідно одночасно вимірювати положення та імпульс електрона, що неможливо (див. п. 6.2). Можна лише говорити про ймовірність знаходження електрона, яка в даному випадку має сферично-симетричний
розподіл. Незважаючи на це, оцінка, наведена вище на основі моделі Резерфорда-Бора, з урахуванням
експериментальних реалій дала правильний результат модель для подальшого аналізу явища поляризації.
p = 0. Це дозволяє використовувати цю
В зовнішньому електричному полі орбіта електрона деформується, як це можна бачити (у значно перебільшеному масштабі) на рис. 2.7.1. б. Положення електрона, усереднене за час
вимірювання, виявляється зміщеним проти поля на деяку відстань r од ядра. Статичний
дипольний момент
p = − e r
, наведений полем, є мірою поляризації атома. На рис. 2.7.1. б напрямок
r протилежний до напрямку, прийнятому в означенні дипольного моменту, що і зумовило присутність у формулі знаку "–".
Величина наведеного дипольного моменту залежить від напруженості поля. Формальне
розкладання p у ряд за степенями E дає
p = p 0
+ χ E + φ E 2 + η E 3 + θ E 4 + ...
(2.7.1)
В загальному випадку коефіцієнти
χ, φ, η, θ, K
є тензорами другого, третього і т. д. рангів. В
координатному зображенні член, який визначає поляризацію, наприклад, кубічну за полем для і -ї
компоненти вектора поляризації, має вигляд
∑η ijkl E j Ek El. Внаслідок ізотропності атома
jkl
коефіцієнти
χ, φ, η, θ, K
є скалярними величинами. Для лінійного члена отримуємо
∂ px
∂ Ex = ∂ py
∂ Ey = ∂ pz
∂ Ez, а змішані похідні дорівнюють нулеві.
Якщо змінити напрямок поля на протилежний, то з урахуванням ізотропності атома, отримаємо
p (− E)= − p (E). З (2.7.1) видно, що ця умова виконується, якщо коефіцієнти членів розкладу з
парними степенями E дорівнюють нулеві. В результаті отримуємо ряд, в якому є лише члени з
непарними степенями Е
Множник χ
p = χ E + η E 3 + L. (2.7.2)
називається коефіцієнтом атомної (молекулярної) поляризації лінійної за полем, або
атомною (молекулярною) сприйнятністю. Наступні члени описують нелінійну поляризацію.
Стаціонарне електричне поле, яке можна отримати в лабораторних умовах, значно слабше ніж внутріатомне поле, тому ряд швидко збігається, і у більшості практичних застосувань можна обмежитися лінійним членом розкладу. Тобто
p = χ СГС E. (СГС) (2.7.3)
Залежність (2.7.3) подано в системі одиниць Гауса. В СІ цей зв'язок прийнято подавати в такому
вигляді:
p = ε0χ СІ E. (СІ) (2.7.3')
З аналізу розмірності виразів (2.7.3), (2.7.3') випливає, що в обох випадках χ має розмірність об’єму,
тобто в СГС вимірюється в см3, а в СІ – у м3.
Вектор поляризації (поляризовність)
Як зазначалося, макроскопічною ознакою поляризації діелектрика є існування в будь-якому його об'ємі дипольного моменту. Для елементарного об'єму дипольний момент пропорційний
величині цього об’єму, тому відношення
P = Δ p
Δ V
(2.7.4)
не залежить від об'єму і є мірою поляризації у макроскопічній точці речовини. Елементарний об'єм вибираємо з таких самих міркувань, що і в означенні поняття макроскопічного поля. Описана таким способом величина називається вектором поляризації. В СІ прийнято назву поляризовність.
Діелектрична сприйнятність
Найважливішою властивістю вектора поляризації є його залежність від електричного поля.
Величина дипольного моменту Δ p
у виділеному об'ємі Δ V
визначається як зовнішнім полем
E 0,
так і полем поляризаційних зарядів, розміщених в об'ємі та на поверхні діелектричного тіла.
Усереднене поле E '
поляризаційних зарядів спричиняє зменшення сумарного поля
E = E 0
+ E',
тобто зменшення величини поляризації. У зв'язку з цією властивістю макроскопічне поле зв’язаних
зарядів
E' називається деполяризаційним полем. Як буде показано далі (див. п. 2.12), величина
деполяризаційного поля залежить од форми діелектрика й за певних умов деполяризаційне поле може взагалі бути відсутнім.
Подібно до дипольного моменту атома, залежність вектора поляризації від напруженості поля
апроксимується степеневим рядом по Е
+α E +β E 2 + γ E 3 + δ E 4 +⋅⋅⋅
(СГС) (2.7.5)
В анізотропних середовищах (кристалах) коефіцієнти розкладу (2.7.5) є тензорами відповідних
рангів. Так, лінійний за полем член визначається тензором другого рангу і має вигляд
Pi = ∑ α ij Ej,
i
де aij = ∂ Pi
∂ Ej. Константа
P 0 має конкретний смисл, – вона визначає спонтанну поляризацію
піроелектриків та фероелектриків. Коефіцієнт
α називається лінійною діелектричною
сприйнятністю або просто діелектричною сприйнятністю, якщо наступні нелінійні внески у поляризацію несуттєві. На відміну від газів, де на практиці можна знехтувати нелінійним внеском у статичну поляризацію, у кристалах, особливо із класу фероелектриків, нелінійні ефекти досить значні, хоча й менші ніж лінійний.
Формулу (2.7.5) можна записати у згорнутому вигляді
|
'
СГС
E. (СГС) (2.7.6)
Тут мається на увазі, що діелектрична сприйнятність α '
поляризацію є функцією напруженості поля, тобто
при наявності нелінійних внесків у
α ' = α + β E + γ E 2 +⋅⋅⋅. (2.7.7)
Особливості поляризації кристалів розглядаються далі (див. п. 2.16), а поки що аналіз буде проводитися для ізотропних діелектриків. Ізотропними в макроскопічному наближенні є рідини, гази
та тверді аморфні діелектрики. В ізотропних діелектриках у розкладі (2.7.5) відсутні члени з парними
степенями Е (див поляризація атома), тобто відсутня також спонтанна поляризація
у лінійному наближенні маємо формулу (2.7.6) із скалярним коефіцієнтом α '.
P 0. Таким чином,
Формули (2.7.5) та (2.7.6) записано в системі одиниць Гауса. В СІ їх прийнято записувати так:
і, відповідно,
P = P 0
+ ε0
(α E + β E 2 + γ E 3 + δ E 4 +⋅⋅⋅)
(СІ) (2.7.5')
|
E. (СІ) (2.7.6')
В неоднорідному діелектрику однакові елементарні об’єми Δ V
мають неоднакові значення
дипольного моменту навіть, коли поле скрізь однорідне. Отже, сприйнятність неоднорідного діелектрика є функцією координат.
Вектор поляризації та поляризаційні заряди
Як вектор поляризації, так і поляризаційні заряди кількісно описують одне і те ж явище – поляризацію діелектрика, тому між ними повинен існувати простий однозначний зв’язок. Знайдемо цей зв’язок, обчисливши, подібно до теореми Остроградського-Гауса для напруженості поля, потік
вектора поляризації ∫ PdS cos α
|
рис. 2.7.2. а. Нехай
dr – взаємне зміщення зарядів протилежних знаків, а
'
|
– зв’язаний заряд,
|
dp = dq ' dr, то
PdS cos α = dq '.
|
∫ PdS = − q'.
= − dq', отримаємо
(СГС, СІ) (2.7.8)
Потік вектора поляризації крізь замкнену поверхню дорівнює поляризаційному зарядові, розміщеному всередині цієї поверхні й узятому із протилежним знаком.
Раніше в п. 2.6 було встановлено, що в неоднорідному діелектрику існують об’ємні поляризаційні заряди. Для такого випадку, застосувавши математичну теорему Остроградського
∫ PdS = ∫∇ P dV, отримуємо з (2.7.8)
ρ ' = −∇ P, (СГС, СІ) (2.7.9)
З цієї формули видно, що причиною виникнення об’ємних поляризаційних зарядів є неоднорідність
поляризації (∇ P ≠ 0) діелектрика. Ця умова, однак, виявляється лише необхідною, але не
достатньою. Тобто не всяка неоднорідність поляризації спричиняє утворення об’ємних
поляризаційних зарядів. Наприклад, у полі точкового заряду q, розміщеного в однорідному
діелектрику, хоч і виникає неоднорідна поляризація
P = α E = α q r
ε r 3, проте, як неважко
переконатися, безпосереднє обчислення дає
∇ P = 0. Однією із причин виникнення об’ємних
поляризаційних зарядів, як було з’ясовано в п. 2.6, є неоднорідність діелектрика (достатня умова). Ще один механізм виникнення їх розглядається в п. 2.8.
Рис. 2.7.2. Визначення зв'язку вектора поляризації з поляризаційними зарядами: а) обчислення потоку; б) межова умова.
Умова для вектора поляризації на межі двох діелектриків
Дослідимо поведінку вектора поляризації на межі поділу двох діелектриків. На рис. 2.7.2. б
довільна математична поверхня розділяє два діелектрики з
α1 ≠ α 2. Обчислимо потік Р з
елементарної призми площею основи dS та висотою h. При цьому вважатимемо, що h → 0, оскільки
за умовою обидві основи призми знаходяться близько до межі поділу. Нехтуючи потоком крізь бічну
поверхню, отримуємо
P n + P n
= −σ '. (2.7.10)
1 1 2 2
Тут
σ ' – густина поляризаційного заряду на поверхні, яка розділяє діелектрики. Це співвідношення
можна записати для проекцій, вибравши напрямок проектування, наприклад, уздовж n 2
n 1 = − n), що дає
(n 2 = n,
P 1 n
− P 2 n
= σ '. (2.7.11)
Якщо діелектрик межує з вакуумом, тобто P 2 = 0, то, опустивши індекс, отримуємо
P cos ϕ = Pn = σ '. (2.7.12)
2.8. Вектор зміщення. Діелектрична проникність
Теорема Остроградського-Гауса в діелектрику
Поляризаційні заряди за своєю природою, звичайно, не відрізняються від сторонніх зарядів,
тому теорему Остроградського-Гауса в діелектрику можна записати без жодних додаткових припущень як
∫ EdS = 4π k (q + q'), (2.8.1)
де E = E 0
+ E'
– макроскопічне поле на елементі поверхні
dS, q – сторонні і
q' – поляризаційні
заряди в оточеному об'ємі. Виразивши q'
через потік Р, отримуємо згідно з (2.7.8)
∫ EdS = 4π k (q − ∫ PdS). (2.8.2)
Якщо поляризаційні заряди розподіляються в деякому об’ємі, то, застосувавши теорему
Остроградського, отримуємо з (2.8.1)
∇ E = 4π k (ρ+ ρ '). (2.8.3)
Вектор зміщення
Внаслідок уведення множника ε0
у залежність поляризовності від напруженості поля для
системи СІ (формула (2.7.3’)) використовувати невизначений коефіцієнт пропорційності k у формулах, в які входить поляризовність або вектор зміщення (див. нижче), не можна, тому подальший аналіз буде провадитися для кожної системи одиниць окремо.
1. СГС: k =1.
Об’єднавши в (2.8.2) інтеграли, отримуємо
∫ DdS = 4π q, (СГС) (2.8.4)
де лінійна комбінація векторів E та P
D = E + 4π P
(СГС) (2.8.5)
називається електричним зміщенням або просто вектором D. Співвідношення (2.8.4) у локальній формі має вигляд
2. СІ: k = 1 4 πε 0.
Маємо
∇ D = 4πρ. (СГС) (2.8.6)
ε0 ∫ EdS = q − ∫ PdS. (СІ) (2.8.2’)
Об'єднавши інтеграли, отримуємо
∫ DdS = q, (СІ) (2.8.4')
де електричне зміщення
D = ε0 E + P. (СІ) (2.8.5')
Відповідна диференціальна форма теореми Остроградського-Гауса для D має вигляд
∇ D = ρ. (СІ) (2.8.6')
Фізичний зміст вектора зміщення
В електростатиці єдиний прояв поля – це дія сили на електричні заряди, тому напруженість є вичерпною характеристикою поля як у вакуумі, так і в речовині. Отже вектор зміщення не є силовим вектором. Це допоміжна величина, використання якої можна виправдати лише існуванням у неї певної важливої властивості. Ця властивість полягає в тому, що у формулах (2.8.4) та (2.8.6) відсутні поляризаційні заряди. Вектор D означено таким способом, що його дивергенція та потік крізь
замкнену поверхню не залежать явно від поляризаційних зарядів. Тобто, вказані функції D зберігають своє значення при заміні одного діелектрика іншим, включаючи вакуум. Зазначимо, що при формулюванні поняття вектора зміщення на властивості діелектрика ніяких обмежень не накладалося, тобто він може бути неоднорідним та проявляти нелінійну реакцію на зовнішнє електричне поле. Єдина необхідна умова очевидна – це незмінність величини стороннього заряду у виділеному об’ємі.
Розмірності та одиниці
З формули (2.8.5) видно, що в СГС електричні величини E, D та P мають однакову розмірність. СГС не часто використовується для числових обрахунків, тому одиниці цих величин не отримали конкретних назв.
В СІ, як видно з (2.8.4'), розмірності D та P однакові, проте не дорівнюють розмірності E
{ D }= { P }= {ε0 E }. З (2.8.4') маємо
{ D }= { P }= Кл
м 2.
Одиниці зміщення та поляризовності не
отримали окремої назви й називаються за їхньою розмірністю: "кулон–на–метр квадратний".
Діелектрична проникність
Врахувавши зв’язок P та E (2.7.6), отримуємо інше означення вектора зміщення
D = ε E. (СГС) (2.8.7)
Безрозмірний коефіцієнт
ε = 1 + 4πα СГС
(СГС) (2.8.8)
називається діелектричною проникністю.
В СІ маємо
D = εε0 E; (СІ) (2.8.7')
ε = 1 + α СІ.
(СІ) (2.8.8')
Величину ε
в СІ іноді називають відносною діелектричною проникністю, а добуток
κ = ε0ε –
абсолютною діелектричною проникністю. Тепер стає зрозумілим, що множник ε0
уведено в
залежність
P = ε0α E
для того, щоби формула (2.8.8') мала простий вигляд.
В неоднорідному діелектрику діелектрична проникність є функцією координат, а у випадку відчутної нелінійної поляризації вона залежить од напруженості електричного поля, оскільки саме такі властивості має діелектрична сприйнятність.
Умови існування об’ємних поляризаційних зарядів
Раніше в якісному наближенні (див. п. 2.6) було встановлено, що поляризаційні заряди виникають у місцях неоднорідності речовини. Тепер цю властивість можна описати кількісно. Для
цього виразимо ρ '
з формули (2.8.3), замінивши Е на D згідно з (2.8.7)
' 1 ⎛ D ⎞
ρ = −ρ +
∇⎜ ⎟. (СГС)
4π ⎝ ε ⎠
Враховуючи, що в неоднорідному діелектрику ε є функцією координат, отримуємо
' 1 ⎡∇ D
⎛ 1 ⎞⎤
ρ = −ρ + ⎢
+ D ∇⎜
⎟⎥.
Нарешті, використавши (2.8.6), маємо
4π ⎣ ε
⎝ ε ⎠⎦
ρ ' = −
ε − 1 ρ −
ε
E ∇(ε)
4πε
; (СГС) (2.8.9)
ρ ' = −
ε − 1 ρ −
ε
ε0 E ∇(ε).
ε
(СІ) (2.8.9’)
Другий член у правій частині виразу пов’язує об’ємну густину поляризаційних зарядів із градієнтом діелектричної проникності, тобто із ступенем неоднорідності діелектрика. Таким чином, існування
об’ємних поляризаційних зарядів спричинено неоднорідністю діелектрика (∇ε ≠ 0). Інший член
− (ε−1)ρ ε
описує новий механізм, за яким поляризаційні заряди виникають у місцях локалізації
сторонніх зарядів.
2.9. Електричне поле на межі двох діелектриків
Нехай два діелектрики з діелектричними проникностями
ε1 та
ε2 межують уздовж деякої
поверхні, як це зображено на рис. 2.9.1. В зовнішньому полі на межі розділу індукується
поляризаційний заряд із поверхневою густиною
σ ', який створить деполяризаційне поле
E'.
Внаслідок цього як напруженість, так і зміщення електричного поля в обох діелектриках відрізнятимуться навіть, якщо зовнішнє поле однорідне. Знайдемо взаємозв’язок нормальних і тангенціальних компонентів D і E, використавши властивість потенціальності електростатичного
поля та теорему Остроградського-Гауса для D.
Рис. 2.9.1. Визначення межової умови для тангенціальних компонентів напруженості поля.
Властивість потенціальності використаємо для обчислення циркуляції E вздовж прямокутного контуру, рис. 2.9.1. Довжину горизонтальної сторони l вибираємо малою, щоби можна було знехтувати зміною E вздовж відрізка. Висоту h спрямовуємо до нуля. Отримуємо
∫ Edl = E 1 l cos ϕ1 + E 2 l cos ϕ2 = 0,
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 351 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
