Поле плоского конденсатора

(доцентрова сила). Джерелом зовнішньої сили може бути, наприклад, рука експериментатора. Надалі

будемо вважати, що згадані вище умови виконуються.

Рис. 1.8.1. До визначення роботи сил електричного поля: а) незамкнена траєкторія; б)замкнена траєкторія.

Потенціальний характер електростатичного поля

Маючи на увазі узагальнюючі можливості принципу суперпозиції, розглянемо спочатку найпростіший випадок, тобто виконання роботи по переміщенню пробного заряду q у полі точкового

заряду Q, рис. 1.8.1. а. Елемент переміщення dl

Е виявилась би відмінною від нуля, що суперечить (1.8.4).

Формулу (1.8.4) можна виразити в диференціальному (локальному) вигляді, використавши теорему Стокса

∫ E dl = ∫ rot E ⋅ dS.

Оскільки інтеграл у правій частині обчислюється на довільній поверхні за єдиної умови збігання її

границь із контуром, то він дорівнюватиме нулю лише, коли

rot E = 0. (1.8.5)

Операцію rot зручно виражати у вигляді векторного добутку

rot E ↔ ∇ × E,

Отже, властивість потенціальності електростатичного поля можна описати такою формулою:

∇ × E = 0.

(1.8.6)

Подібно до виразу

di v E = ∇ E, вираз

∇ × E означає отримання відповідних похідних за правилами,

подібними для векторного добутку. Тобто

(rot E)

= ∂ Ez − ∂ Ey, (rot E)

= ∂ Ex − ∂ Ez, (rot E)

∂ Ey ∂ E

= − x,

x ∂ y ∂ z

y ∂ z ∂ x

z ∂ x ∂ y

тоді як для звичайних векторів a, b: [ a × b ] x = aybz − az by

антикомутативності векторного добутку.

і т. д. Крім того, відсутня властивість

1.9. Різниця потенціалів, потенціал електростатичного поля

Різниця потенціалів

Потенціальний характер електростатичного поля дозволяє описати його не лише векторною величиною – напруженістю, але і скалярною функцією – потенціалом. З формули (1.8.3) видно, що

робота переміщення заряду пропорційна його величині. Тому, утворивши відношення

A 12 q,

отримуємо вираз, який не залежить од величини пробного заряду q і є скалярною функцією координат двох точок поля – початку та кінця траєкторії. Різниця потенціалів двох точок поля – це фізична величина, яка дорівнює відношенню взятої із протилежним знаком роботи сил поля по переміщенню точкового заряду між цими точками до величини цього заряду

A 12

або еквівалентно

ϕ21 = − q

, (1.9.1)

ϕ21 = −∫ Edl. (1.9.2)

Наявність знаку "–" у цих формулах не має принципового значення, оскільки ми маємо справу з означенням фізичної величини, тобто з домовленістю. Цей вибір спричинено тісним зв’язком електричного потенціалу з енергією електричного поля і буде обґрунтований у п. 2.11.

Потенціал

Для аналітичних застосувань різниця потенціалів не є зручною величиною, оскільки, на відміну від напруженості, вона є функцією двох точок поля. Цей недолік можна виправити, якщо зафіксувати одну з цих крайніх точок, зробивши її спільною для траєкторій, проведених у всі інші точки поля. З двох можливих варіантів (початкова, кінцева) спільною вибрано кінцеву точку, рис. 1.9.1. а.

Описана процедура визначає нову характеристику електричного поля – потенціал. Потенціал точки поля – це, по суті, різниця потенціалів між досліджуваною й наперед заданою кінцевою точкою, спільною для всіх траєкторій. Точку відліку потенціалу найчастіше вибирають так, аби вона мала певні універсальні властивості, наприклад, відносять її на безмежність. В такому випадку потенціал точки визначається відношенням роботи сил поля над переміщенням точкового заряду з даної точки на безмежність до величини цього заряду

∞

ϕ(r)= ∫ Edl, (1.9.3)

r

або при переміщенні у зворотному напрямку,

r

ϕ(r)= − ∫ Edl. (1.9.3’)

∞

Рис. 1.9.1. До поняття потенціалу електричного поля: а) вибір точки відліку; б) ілюстрація зв’язку між потенціалом та різницею потенціалів.

Запропонований спосіб вибору точки відліку зручний тим, що у практичних випадках електричне поле на безмежності відсутнє, тобто всі безмежно віддалені точки еквівалентні. В якості верхньої межі інтеграла (1.9.3) можна вибрати будь-яку безмежно віддалену точку, оскільки

інтегрування між двома такими точками не дає внеску в потенціал (E = 0). В практичних

застосуваннях потенціал найчастіше визначають відносно Землі. Як відомо, Земля проявляє

властивості провідника. При рівновазі зарядів електричне поле у провіднику відсутнє (див. п. 2.2),

тобто всі точки Землі мають однаковий потенціал.

У формально-математичному розумінні потенціал точки поля – це скалярна величина, яка функцією радіус-вектора цієї точки й одночасно функцією параметра – радіус-вектора кінцевої точки. Використання потенціалу для характеристики поля має ту перевагу, що для його знаходження досить розв'язати лиш одне скалярне рівняння, тоді як для знаходження напруженості поля в загальному випадку необхідно мати три рівняння для трьох проекцій Е.

Зв’язок потенціалу з різницею потенціалів можна зрозуміти з рис. 1.9.1. б. Потенціал точки 1

знаходимо, перемістивши пробний заряд q із цієї точки на безмежність вздовж довільної траєкторії,

але так, аби вона пройшла через задану точку 2. Тоді ϕ1 (r) = A 12

q + ϕ 2 (r) і різниця потенціалів

ϕ21 = − A 12

q = ϕ2 − ϕ1 = Δϕ. (1.9.4)

В теорії різниця потенціалів як самостійна фізична величина практично не використовується, а трактується як приріст потенціалу. Приріст функції традиційно визначається як кінцеве значення її мінус початкове значення, тобто запис у формулі (1.9.4) відповідає цій домовленості.

Калібрування потенціалу

З формули (1.9.3) випливає, що потенціал у традиційному розумінні не має прямого смислу,

оскільки його неможливо поміряти внаслідок розміщення кінцевої точки траєкторії на безмежності.

Потенціал можна лиш обчислити за формулою (1.9.3), отже, його не "зіпсуємо", якщо додамо до потенціалів усіх точок поля довільну константу С, тобто

ϕ ' = ϕ + C. (1.9.5)

При такій модифікації потенціалу різниця потенціалів, тобто величина, яку можна поміряти, не

змінюється. Процедура додавання константи до потенціалів усіх точок поля називається калібруванням потенціалу, а незалежність різниці потенціалів од такої процедури – калібрувальною інваріантністю або калібрувальною симетрією потенціалу. Тут мається на увазі абстрактна симетрія, яка є узагальненням геометричної симетрії тіл. Якщо абстрагуватися від конкретних елементів симетрії – осей, дзеркальних площин та центру симетрії, то поняття симетрії можна сформулювати так: якщо в системі відбуваються певні перетворення, однак, деяка величина, що характеризує цю систему, при цьому не зміннюється, то такі перетворення вважаються симетрійними відносно даної величини. З цього випливає, що закони збереження є проявами узагальненої симетрії: якщо система ізольована, то її енергія, імпульс та момент імпульсу залишаються сталими при будь-яких перетвореннях у системі. З арядова симетрія полягає в тому, що в ізольованій системі електричний заряд залишається сталим. Переміщення заряду між двома точками поля теж є проявом абстрактної симетрії, оскільки робота сил електричного поля не залежить від форми траєкторії.

Виходячи з калібрувальної властивості потенціалу, його можна подати у вигляді невизначеного

інтеграла

ϕ(r)= −∫ Edl + C.

(1.9.6)

Мінус перед інтегралом враховує той факт, що по умовчанню невизначений інтеграл обчислюється на верхній границі відповідно до формули (1.9.3’), а довільна константа С відповідає значенню на нижній границі.

Калібрувальна інваріантність не є унікальною особливістю потенціалу. В сучасній фізиці широко використовуються величини, які, подібно до потенціалу, не мають прямого фізичного смислу. До них належить, наприклад, векторний потенціал – характеристика магнітного поля

(див. п. 4.7). Хвильова функція ψ, за допомогою якої у квантовій теорії описується стан

мікрочастинки, в загальному випадку є комплексною величиною, тобто не має прямого фізичного

смислу. Конкретний смисл має квадрат її модуля. Якщо ψ визначено як функцію координат, то вираз

dW = ψψ * dV

означає імовірність знайти мікрочастинку в елементі об’єму dV. Якщо визначити іншу

хвильову функцію як ψ' = ei ϕ ψ, де i – уявна одиниця, а ϕ – довільний фазовий кут, то ψ ' ψ '* = ψψ *,

тобто ймовірність знаходження частинки не зміниться, тому нова хвильова функція описує цей же

квантовий стан.

Стосовно згаданих вище величин варто зауважити: якщо раніше вважалося, що існує лише те, що можна поміряти, то досягнення сучасної науки переконують у необхідності дотримуватися іншого принципу, а саме, існує все те, що не суперечить фізичним законам. Однак, зрідка, у критичні

моменти розвитку науки порушується і це правило, тобто доводиться припускати, що існують явища, які, на перший погляд, суперечать фізичним законам. Так, наприклад, гіпотеза про квантову природу електромагнітного поля суперечила загальноприйнятим уявленням про нього як об’єкта, що має хвильову природу. Іншим прикладом може бути теорія атома водню Бора, при розробці якої автору її довелося відмовитись від постулату класичної електродинаміки щодо механізму випромінювання атомним електроном електромагнітних хвиль, увівши поняття стаціонарних орбіт.

Потенціал у неоднорідному середовищі

У неоднорідних середовищах внаслідок його поляризації напруженість поля на окремих ділянках траєкторії може описуватись різними функціональними залежностями від координат. В подібних випадках для визначення потенціалу не можна безпосередньо використовувати форму

невизначеного інтеграла (1.9.6). Правильним буде такий запис:

r 1 r2

rn − 1 ∞

ϕ(r)= ∫ E 1 dl 1 + ∫ E 2 dl 2 +L+

∫ En- 1 dln − 1 + ∫ Endln,

тобто

r r1

rn − 2 rn

ϕ(r)= Δϕ1 + Δϕ2 + L + ϕ n. (1.9.7)

Тут індекси 1, 2, K ,n позначають різні середовища. Останній член, який визначає потенціал точки rn,

можна виразити через невизначений інтеграл

ϕ n = −∫ En dl + C.

Одиниці потенціалу та напруженості електричного поля

У СІ потенціал та різниця потенціалів вимірюється у вольтах (В, V). З (1.9.1) маємо

1В =1Дж

Кл. 1 вольт – це різниця потенціалів таких двох точок поля, коли при переміщенні

точкового заряду в 1 Кл між цими точками робота, виконувана полем, дорівнює 1 Дж. В СГС

одиниця потенціалу визначається відповідним чином: 1 од. потенціалу СГС = 1 ерг/1 од. заряду СГС.

Врахувавши зв’язок між одиницею заряду та роботи в СГС та СІ, маємо 1 од. потенціалу СГС

відповідає

300B

(точніше

299, 7). З (1.9.2) видно, що напруженість електричного поля в СІ має

розмірність

В м. Ця одиниця спеціальної назви не отримала; вона називається відповідно до її

розмірності, "вольт–на–метр".

Потенціал точкового заряду

Для точкового заряду q маємо E = kq r

r 3 і, згідно з (1.9.5), ϕ(r)= −∫ kqdr

r 2 + C, тобто

ϕ = kq

r + C.

(1.9.8)

Потенціал рівномірно зарядженої сфери

На сфері радіуса R знаходиться заряд q, рівномірно розподілений по її поверхні. За межами сфери напруженість поля збігається з напруженістю поля рівновеликого точкового заряду, тому

ϕ(r > R) = kq

r + C. (1.9.9)

Усередині сфери E = 0, тому інтегрування в межах од r до R не дає внеску у ϕ, тобто

ϕ(r ≤ R) = kq

R + C = const. (1.9.10)

Внаслідок відсутності поля всередині сфери потенціал усіх внутрішніх точок однаковий і дорівнює

потенціалу на її поверхні.

Потенціал рівномірно зарядженої кулі

Куля радіуса R рівномірно заповнена в об’ємі зарядом q. Для зовнішніх точок

E = kq

r 2, тому

ϕ(r ≥ R) = kq

r + C, як і у випадку сферичної поверхні. Усередині кулі напруженість описується

формулою E 1 = kq r

R 3, тому згідно з (1.9.7)

R

kq ⎛

r 2 ⎞

ϕ(r < R)

= ∫ E 1 dr - ∫

⎝

R

r

Edr + C =

2 R ⎜3 −

2 ⎟ + C.

⎠

(1.9.11)

Потенціал кругової циліндричної поверхні

Лінійна густина заряду поверхні τ, радіус R. За межами поверхні

E = 2 k τ r,

r 2

де r – відстань вздовж перпендикуляра від осі до шуканої точки. Інтегрування за формулою (1.9.6)

для зовнішніх точок дає

ϕ(r)= −2 k τln r + C

(1.9.12)

Усередині циліндричної поверхні поле відсутнє, тому потенціал внутрішніх точок сталий і дорівнює

потенціалу на поверхні, тобто

ϕ(r ≤ R) = −2 k τln R + C.

(1.9.12’)

Для цього об'єкта визначений інтеграл (1.9.3) розходиться. Якщо кінцеву точку траєкторії вибрати на

поверхні циліндра, то з (1.9.3) отримаємо

конкретне значення C = 2 k τln R.

ϕ = −2 k τln(r

R), тобто константа калібрування має тут

Потенціал однорідного поля

Враховуючи, що тут E = const, і, направивши вісь OZ уздовж поля, отримуємо з (1.8.6)

ϕ = − Ez + C.

(1.9.13)

Використання визначеного інтеграла (1.9.3), як і в попередньому випадку, дає розбіжний результат.

1.10. Градієнт потенціалу. Основне рівняння електростатики

Еквіпотенціальні поверхні

Для графічного зображення електричного поля, крім силових ліній, використовуються також

еквіпотенціальні поверхні, тобто поверхні, рівняння яких має вигляд

ϕ = const. Задаючи різні

значення

ϕ, отримуємо сімейство потенціальних поверхонь. У випадку точкового заряду – це

концентричні сфери, для безмежної рівномірно зарядженої нитки – коаксіальні кругові циліндричні поверхні. Однорідне поле зображається сімейством паралельних еквіпотенціальних площин.

Основна властивість еквіпотенціальної поверхні полягає в тому, що вектор Е поблизу

еквіпотенціаьної поверхні перпендикулярний до неї. Для доведення досить обчислити лінійний

інтеграл уздовж траєкторії, яка всюди лежить на поверхні

ϕ = const. Отримуємо ∫ Edl cos α = 0, що

можливо лише, коли для всіх точок траєкторії виконується умова α = π 2.

тобто

Рис. 1.10.1. До визначення градієнту потенціалу.

Для потенціалу, як і для напруженості електричного поля, виконується принцип суперпозиції,

ϕ(r)= ∑ ϕ i (r),

де ϕ i (r) – потенціал i -го (необов’язково точкового) заряду в заданій точці r поля.

Градієнт потенціалу

Рівняння (1.9.3), (1.9.5) дозволяють визначити потенціал, якщо відома функціональна

залежність напруженості поля від координат

E (r). Розв'яжемо тепер обернену задачу по

знаходженню напруженості поля, заданого його потенціалом. Запишемо різницю потенціалів між

двома близькими точками траєкторії, тобто

подати в такому вигляді:

d ϕ = − Edl. Ліву та праву частини цього виразу можна

d ϕ = ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz

∂ x ∂ y ∂ z

та, відповідно,

Edl = E x dx + E y dy + E z dz. Тут

dx,dy,dz

– проекції елемента переміщення dl на

координатні осі. Оскільки координати незалежні, то рівність повинна виконуватись для кожної

компоненти зокрема, наприклад, Ex = − ∂ϕ ∂ x. В результаті отримуємо

⎛

E = −⎜ i

E = −∇ϕ.. (1.10.2’)

Як і в попередніх прикладах застосування цього оператора, вираз ∇ϕ

координатах.

означає диференціювання по

На рис. 1.10.1 зображено дві еквіпотенціальні поверхні ϕ та

вважатимемо, що d ϕ > 0. Маємо

ϕ + d ϕ. Для визначеності

E = − d ϕ

dl co s α,

тобто

E = − d ϕ dn, де

dn = dl cos α – віддаль між еквіпотенціальними поверхнями вздовж вектора

нормалі n. Отже, E можна записати як функцію ϕ так:

E = − d ϕ n. (1.10.3)

dn

Рівняння Лапласа, Пуассона

Запишемо формулу Остроградського-Гауса для потенціалу, використавши формулу (1.10.2) або

(1.10.2’). Маємо

∇(∇ϕ)= div grad ϕ = −4π k ρ.

Ліву частину цієї рівності можна подати у вигляді

∇(∇ϕ)= (∇)2 ϕ = Δϕ. Скалярний оператор Δ

(дельта) називається оператором Лапласа і в декартових координатах має вигляд

∂2

Δ =

∂ x 2

∂2

+

∂ y 2

∂2

+.

∂ z 2

Отримуємо диференціальне рівняння другого порядку

Δϕ = −4π k ρ. (1.10.4)

Це рівняння носить ім'я Пуассона. Якщо в околі точки заряди відсутні, то отримуємо рівняння

Лапласа

Δϕ = 0. (1.10.5)

Рівняння (1.10.4) ще називається основним рівнянням електростатики.

Поле рівномірно зарядженої плоско-паралельної пластинки

Товщина пластинки

2 l, об'ємний заряд розподіляється рівномірно з густиною ρ, рис. 1.10.2. З

характеру розподілу заряду випливає, що Е повинна бути перпендикулярною до граней пластинки.

Крім того, на серединній площині

E = 0

внаслідок компенсації внесків у поле від обох половинок

пластинки. Початок відліку вибираємо на цій площині. Тоді з (1.10.4) отримуємо

d ϕ = −4π k ρ.

dx 2

Рис. 1.10.2. Поле плоско-паралельної пластинки.

Для точок, розміщених усередині пластинки (x < l), маємо

E = − d ϕ = 4π k ρ x, (1.10.6)

(x < l) dx

тобто напруженість поля зростає лінійно обабіч середини пластинки. Маючи на увазі калібрувальну

інваріантність потенціалу, покладемо ϕ(0)= 0, що дає

x < l

ϕ() = 2π k ρ x 2. (1.10.7)

Для зовнішніх точок ρ(x > l) = 0 й інтегрування (1.10.6) дає

E (x > l) = 4π k ρ l, (1.10.8)

тобто за межами пластинки поле однорідне. Напруженість його збігається з напруженістю поля

рівномірно зарядженої площини, оскільки

лінійно з відстанню

ρ l = σ. Потенціал за межами пластинки змінюється

ϕ(x > l) = Ex = 4π k ρ lx. (1.10.9)