Формулювання та доведення теореми Остроградського-Гауса

на напрямок r, яку, зважаючи на малі розміри, можна трактувати

як елемент сферичної поверхні радіуса r. Тобто вираз

d Ω = dS cos α r 2

визначає елементарний

тілесний кут, утворений сферичним сегментом площею

dS cos α. В результаті отримуємо

Φ = kq ∫ d Ω = 4π kq

і теорему для цього конкретного випадку доведено.

Розглянемо випадок, коли заряд q знаходиться за межами замкненої поверхні, рис. 1.5.2. б.

Скориставшись попереднім міркуванням, проводимо конічну поверхню малого розхилу з вершиною

r

в q. Конус двічі перетинає поверхню, а відповідні тілесні кути

d Ω1

= dS 1cos α1 2 та

r

d Ω 2 = dS 2 cos α 2 2

виявляються однаковими за модулем, але протилежними за знаком, оскільки

кут

α1 – тупий, тоді як

α 2 – гострий, тому відповідні елементарні потоки взаємно компенсуються.

Розділивши всю поверхню на пари таких елементів, переконуємося, що потік напруженості поля від зовнішнього заряду крізь замкнену поверхню дорівнює нулеві.

Якщо поверхня має складки, то, як видно з рис. 1.5.2. в, тілесний кут, проведений від внутрішнього заряду, перетинає її непарне число разів, тобто залишається внесок лише від потоку крізь одну елементарну поверхню. Якщо заряд зовнішній, то тілесний кут перетинає поверхню парне число разів і відповідний результат дорівнює нулю.

З використанням принципу суперпозиції теорема легко узагальнюється для довільного числа

точкових зарядів, розміщених як усередині, так і зовні замкненої поверхні довільної форми

n n m

Φ = ∑ Ei dS i = ∑ Φ i = 4π k ∑ q j,

i =1

i =1

j =1

де Φ i

– потік поля точкового заряду

qi, m – число зарядів усередині поверхні,

n (n ≥ m)– загальне

число зарядів. Таким чином, теорема доведена.

Для подальшого важливо мати на увазі, що E у формулі (1.5.2) – це поле на елементі dS, тобто воно включає поля всіх зарядів, можна сказати, Всесвіту незалежно від розміщення зарядів зовні чи всередині S, тоді як у праву частину входять лише внутрішні заряди, причому результат не залежить від їхнього розміщення. Власне, така "м'якість" цих умов і надає теоремі Остроградського-Гауса

значної узагальнюючої сили.

Рис. 1.5.2. До теореми Остроградського-Гауса: а) заряд усередині поверхні; б) заряд зовні поверхні; в) випадок поверхні складної форми.

З доведення теореми Остроградського-Гауса стає зрозумілим, що вона справедлива завдяки оберненій квадратичній залежності напруженості поля точкових зарядів од відстані, а також

внаслідок центрального характеру електричних сил. Ці дві властивості дозволяють замінити

складний вираз

dS cos α r 2

однією величиною – елементарним тілесним кутом

d Ω. Якщо,

наприклад, сила взаємодії змінюється з відстанню як

F ~ 1 r 2+α, то вираз для повного потоку має

вигляд

Φ = ∫ d Ω

r α, тобто результат залежить від розміщення зарядів. Крім того, внесок у потік

давали б як внутрішні, так і зовнішні заряди.