 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Електричний диполь
|
|
Система двох рознесених, однакових за абсолютною величиною та протилежних за знаком
точкових зарядів називається електричним диполем, рис. 1.11.1. Позначивши
r 1 − r 2 = l, знаходимо,
що момент електричного диполя
p = q r 1 − q r 2
дорівнює
p = q l. (1.11.2)
Варто запам'ятати, що l відраховується в напрямку, протилежному до напрямку поля між зарядами.
Електричний диполь є важливим суб'єктом моделювання різноманітних електромагнітних процесів.
Наприклад, властивості атома у зовнішньому електричному полі доволі точно описуються його дипольним моментом, індукованим цим полем. Атом, який випромінює електромагнітну хвилю
частоти
ν, можна розглядати як електричний диполь, момент якого змінюється з часом за законом
p ~ cos 2πν t. Ще одним прикладом може бути поляризація речовини (глава 2), яка кількісно
описується вектором поляризації, тобто величиною дипольного моменту одиниці об’єму діелектрика.
Потенціал диполя
За принципом суперпозиції маємо для потенціалу диполя в точці А, рис. 1.11.1
ϕ = kq (1 R 1 − 1 R 2). (1.11.3)
Рис. 1.11.1. До визначення потенціалу диполя.
Знайдемо наближений вираз для
ϕ за умови, що точка спостереження знаходиться на відстані R від
диполя, набагато більшій від його довжини, тобто
R >> l. R прийнято відраховувати від середини
диполя до шуканої точки. Це наближення називається наближенням точкового диполя. З рис. 1.11.1
бачимо, що
R 1 = R − l
2, тобто R 1 =
(R − l
2)(R − l
2), звідки
1 1 ⎛ Rl
|
|
−1 2
|
R 1 ⎝
R 2 4 R 2 ⎟
Розклавши в ряд вираз у дужках, та, обмежившись членами розкладу порядку
l R, отримуємо
1 R 1 = (1+ l cos(α ) 2 R) R
за умови l << R є
і, відповідно, 1 R 2 = (1− l cos(α) 2 R) R. Отже, потенціал точкового диполя
ϕ = k p cos α
R 2
Якщо координатну вісь О Z спрямувати вздовж диполя, то
z = R cos α, тобто
(1.11.4)
Нарешті, врахувавши, що формі
ϕ= k pz. (1.11.5)
R3
z = R cos α, отримуємо вираз для потенціалу диполя у безкоординатній
ϕ= k pR. (1.11.6)
R 3
Потенціал диполя спадає з відстанню як 1 R 2, тобто швидше ніж потенціал точкового заряду.
Напруженість поля диполя
Для знаходження Е диполя використовуємо формулу
E = −∇ϕ. Маємо з (1.11.6)
∇ϕ =
1 ∇(pR)+ (pR)∇⎛1 ⎞.
|
|
Оскільки
p = const, то ∇(pR)= p. Похідна від другого члена
|
⎜ ⎟ = −
3 ∇(R)= − 3 R.
В результаті отримуємо
⎝ R 3 ⎠ R 4
R 4 R
⎛ 3(pR) p ⎞
E = k ⎜
5 R − 3 ⎟.. (1.11.7).
⎝ R R ⎠
Диполь в електричному полі
В однорідному електричному полі на диполь діє пара сил
момент цих сил M = ql sinα. У векторному вигляді
F + = q E
та F − = − q E. Механічний
M = p × E
, (1.11.8)
тобто в рівновазі дипольний момент установлюється паралельно до поля.
В неоднорідному полі сили, що діють на заряди диполя, неоднакові за абсолютною величиною і в загальному випадку не є строго протилежними, рис. 1.11.2, тому загальна сила
F = F + + F − = q [ E (r')− E (r)]
відмінна від нуля. Отже вільний диполь у неоднорідному полі, крім обертання, набуває
поступального руху, втягуючись в поле. Для точкового диполя можна вважати
l = dr. Тоді
E (r')− E (r)= dE, а
⎛ ∂ E ∂ E
∂ E ⎞ ⎛ ∂
∂ ∂ ⎞
F = q ⎜
dx +
dy +
dz ⎟ = q ⎜ dx
+ dy
+ dz
⎟ E.
⎝ ∂ x ∂ y
∂ z ⎠
⎝ ∂ x
∂ y ∂ z ⎠
Використавши формалізм оператора ∇, цей вираз можна записати у вигляді
F = (p ∇) E. (1.11.9)
Рис. 1.11.2. Диполь у неоднорідному електричному полі.
1.12. Потенціал довільної системи точкових зарядів
Електричний диполь є найпростішою системою точкових зарядів по відношенню до інших систем, що використовуються для моделювання електромагнітних процесів. Більш складною системою модельних зарядів є квадруполь, який можна зобразити у вигляді двох антипаралельних диполів з однаковими за модулем зарядами. Окремі варіанти квадруполя зображено на рис. 1.12.1. а, б, в. На рис. 1.12.1. г зображено ще складнішу систему зарядів – октуполь, який утворюється двома антипаралельними квадруполями. В цій системі класифікації точковий заряд
називається монополем.
Рис. 1.12.1. Стандартні системи зарядів: а), б), в) варіанти квадруполя; г) октуполь.
Визначимо потенціал системи, яка складається з n точкових зарядів, рис. 1.12.2. Потенціал
довільної точки поля визначиться сумою
розміщену де-небудь всередині системи.
ϕ = k ∑ qi Ri. Початок координат умістимо в точку 0,
i
Знайдемо вираз для потенціалу на значних відстанях, тобто за умови, що для будь-якого заряду
qi виконується нерівність
ri << R, де R – радіус-вектор точки поля (наближення точкового диполя).
Тобто розглядається випадок, коли максимальна відстань між двома довільними зарядами системи значно менша від відстані будь-якого із зарядів до точки спостереження. Для знаходження
потенціалу розкладаємо вираз 1 R i =1
R − ri
у степеневий ряд за малим параметром ri
R, але, на
відміну від випадку, що розглядався в попередньому параграфі, враховуємо члени розкладу більш високих порядків. В результаті отримуємо такий ряд:
k
ϕ = (K 1 + K 2 + K 3 + K 4 +L), (1.12.1)
R
де
K 1 = ∑ qi,
1 1
(1.12.2)
K 2 =
∑ qi ri cosα i =
R
∑ pi cos α i,
R
(1.12.3)
q r 2 (1 − 3 cos 2 α)
K = ∑ i i i,
3 R 2
|
|
(1.12.4)
і т. д. Тут α i
K 4 = ∑ 3
R
– кут між R та ri.
(1.12.5)
Член
Рис. 1.12.2. До обчислення поля системи точкових зарядів.
K 1 міститься в (1.12.1), якщо загальний заряд системи не дорівнює нулю. Знехтувавши
наступними членами розкладу, отримуємо вираз, який визначає потенціал точкового заряду Q = ∑ qi.
У зв’язку з цим K 1 називають монопольним членом.
Член
K 2 визначає дипольний внесок у потенціал, оскільки саме з нього розпочинається ряд у
випадку нейтральної системи з відмінним від нуля дипольним моментом.
K 3 називається квадрупольним членом; із нього починається ряд, який описує потенціал
нейтральної системи з нульовим дипольним моментом, але відмінним від нуля квадрупольним моментом, рис.1.12.1. а,б,в.
Нарешті, у ще більш симетричній системі зарядів, в якій відсутній також і квадрупольний
момент, ряд розпочинається членом K 4, який називається октупольним.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 1643 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
