Теорема Остроградського-Гауса як узагальнення закону Кулона

Формула (1.5.2) не може вважатися новим законом електростатики, адже закон не доводиться як теорема. Закон установлює залежність між фізичними величинами, що не випливає з існуючої теорії. Він спочатку формулюється у вигляді припущення (гіпотези), яка лише у випадку відповідності законам збереження та по ґрунтовній експериментальній перевірці набуває рангу фізичного закону. Теорема Остроградського-Гауса – це узагальнення закону Кулона, на основі якого вона доводиться, лише виражене в іншій математичній формі. На відміну від закону Кулона, теорема Остроградського-Гауса трактує електричну взаємодію не з точки зору сил взаємодії між зарядами, а в термінах напруженості електричного поля, абстрагуючись тим самим від приладу, що вимірює силу.

Про інваріантність формули Остроградського-Гауса

Закон Кулона описує взаємодію нерухомих зарядів. Якщо заряди рухаються з відносною швидкістю, близькою до швидкості світла, то формула (1.3.1), яку ми називаємо законом Кулона, не описує їхньої реальної взаємодії внаслідок скінченної величини швидкості поширення електричного

поля. Поле, яке створюється точковим зарядом q 1 у точці, де розміщений рухомий заряд q 2

у момент

часу t, необхідно пов'язувати не з відстанню між ними в цей же момент часу, а відстанню в

попередній момент часу t − τ, де τ

– час поширення ектричного поля між зарядами.

З формули (1.5.2) випливає, що загальний заряд усередині замкненої поверхні дорівнює

1

∑ qi =

4π k

∫ EdS.

(1.5.3)

На перший погляд, ця формула узагальнює теорему Остроградського-Гауса і для рухомих зарядів,

оскільки зліва од знаку рівності знаходиться інваріантна величина

∑ qi. Дійсно, теорема

Остроградського-Гауса, на відміну від закону Кулона, інваріантна щодо швидкості руху зарядів, однак формулу (1.5.3) не можна вважати доказом цієї властивості, оскільки її отримано на основі закону Кулона, тобто для статичних зарядів. В інваріантності теореми Остроградського-Гауса можна переконатися на прикладі задачі, розглянутої у п. 4.11 з урахуваннням релятивістських ефектів. Таким чином, теорема Остроградського-Гауса є узагальненням експериментального закону Кулона й

описує електричні властивості як нерухомих, так і рухомих зарядів.

1.6. Застосування інтегральної теореми Остроградського-Гауса

Теорема Ірншоу

Наведемо приклад аналітичних можливостей теореми Остроградського-Гауса, довівши на її основі теорему, сформульовану фізиком і математиком С. Ірншоу в 19 ст. Теорема стверджує: в

системі статичних зарядів, тобто при наявності лише електростатичних сил стійка рівновага

неможлива. Для доведення цього твердження розглянемо систему точкових зарядів

q,q 1 ,q 2, K ,qn,

оточивши один із них, наприклад, q замкненою поверхнею, рис. 1.6.1. Теорема легко доводиться

способом "від протилежного". Із загальних міркувань випливає, що в системі може існувати лише стійка, або лише нестійка рівновага. Третій варіант – індиферентна рівновага означає відсутність електричного поля, тобто й відсутність зарядів. Отже, відповідно до прийнятого способу доведення припускаємо, що стійка рівновага існує. Якщо результат аналізу суперечитиме цьому припущенню,

то істинним виявиться альтернативне твердження, що стійка рівновага відсутня.

Нехай заряд q > 0

знаходиться в рівновазі, тобто в точці його розміщення сумарне поле інших

зарядів дорівнює нулю. Така ситуація цілком можлива. Наприклад, поле в точці, розміщеній посередині відрізка прямої, який з'єднує два однакові заряди, відсутнє. Помістивши в цю точку вчетверо менший заряд протилежного знаку, можна переконатись, що й на крайні заряди не діятиме електрична сила.

Якщо рівновага стійка, то при зміщенні q у довільну точку, що знаходиться всередині S,

виникає повертаюча сила

F ' = q E ', спрямована в бік положення рівноваги, де

E ' – поле зарядів,

розміщених зовні поверхні. Наявність повертаючої електричної сили у всіх точках біля поверхні S

означає, що потік од зовнішніх зарядів

Φ ' = ∫ E'dS

відмінний від нуля і в даному випадку має

від'ємний знак. Однак, цей висновок суперечить теоремі Остроградського-Гауса, за якою потік напруженості поля від зовнішних зарядів дорівнює нулю. Таким чином, наше припущення щодо існування стійкої рівноваги в системі точкових зарядів виявилось помилковим, тобто, якщо рівновага й існує, то вона нестійка.

З теореми Ірншоу випливає важливий методологічний висновок, що існування атомів чи молекул можна пояснити лише на основі уявлень про динамічну рівновагу зарядів, тобто рівновагу в русі. Електрони рухаються навколо ядра, іони в кристалі коливаються біля положення рівноваги навіть при температурі абсолютного нуля (так звані нульові коливання). При цьому зберігаються, тобто залишаються незмінними в часі не координати зарядів, а характер руху орбітальних електронів

та положення рівноваги іонів, що коливаються.

Рис. 1.6.1. До теореми Ірншоу.

Зазначимо, що класична електродинаміка виявилась неспроможною пояснити існування атомів навіть з урахуванням динамічного характеру рівноваги зарядів. Адже за моделлю атома Резерфорда електрони рухаються вздовж замкнених орбіт, тобто з прискоренням, тому вони відповідно до основного принципу класичної електродинаміки повинні випромінювати електромагнітну хвилю,

втрачаючи внаслідок цього механічну енергію. В результаті за короткий проміжок часу всі електрони

атома, витративши енергію на випромінювання, повинні впасти на ядро. Практика, однак, переконує, що атом є доволі стійким утворенням. Бор вирішив проблему стійкості атомів, припустивши, що в атомах існують особливі стаціонарні орбіти, яких згаданий принцип не стосується. Проблема електричної стійкості атомів та речовини послідовно вирішується лише в рамках квантової теорії.

Правила для розрахунку електричних полів із використанням теореми