Нормальна форма рівняння

Для багатозв`язних систем метод розкладання на елементарні дроби стає складним. Тому цей метод застосовується для знаходження рівнянь стану у системах з одним входом та виходом. При цьому , , – є скалярами, а матриці та – матрицями векторами.

Якщо матриця не діагональна, то треба мати можливість перетворень рівнянь стану у стандартну форму, тобто звести матрицю до діагонального вигляду або до матриці Жордана.

Нехай система описується рівняннями

Будемо вважати, що характеристичні числа матриці різноманітні. Застосуємо лінійне перетворення з застосуванням модальної матриці таким чином, щоб виконувалось рівняння , де – нова змінна.

Тоді

або

Тому що модальне перетворення приводить до діагональної Жорданової матриці , головними діагональними елементами якої служать характеристичні числа , то

де , , .

Така форма зaпису рівнянь стану відома як Нормальна форма рівнянь стану. При цьому диференційні рівняння розв`язані відноснозмінних стану , тобто вони мають вигляд , де – функція, яка впливає на -ту змінну стану.

П 2.71

Для умов задачі П 2.69 виконати модальні перетворення та привести рівняння до нормальної форми

1. Матриці ВММ на основі аналогового моделювання

дають

2. Матриця діоганалізуюча – матриця Вандермонда

3. Виконується діоганалізація матриці

4. Перевірка