Формули Ньютона-Котеса та метод трапецій у чисельному інтегруванні

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні наближеного значення визначеного інтеграла

, (1)

Узагальненням методів чисельного інтегрування є метод Ньютона-Котеса, який полягає у заміні підінтегрального виразу інтерполяційним поліномом Лагранжа з вузлами, що розбивають проміжок інтегрування на рівні частини: xi=a+i×h, і=0, 1, 2, …; b=xn=a+n×h.

В інтегралі (1) зробимо заміну: х® a+y×h. Позначимо F(y)=f(a+y×h). Тоді (1) можна записати у вигляді

. (2)

Інтерполяційний поліном n-го ступеню для функції f(х) має вигляд

, а його залишок –

.

Враховуючи, що , , інтеграл (2) запишеться таким чином:

(3)

де .

Розглянемо частинні випадки.

1. n=1. Тоді маємо усього 2 вузла, що співпадатимуть з границями інтегрування: x0=a, x1=b; h=b-a. Відповідно з (3) будемо мати

;

, (4)

де

Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку [xi-1; xi] записати формулу Ньютона-Котеса (4), то в результаті отримаємо формулу трапецій із залишковим членом, рівним

Враховуючи, що матимемо залишок у вигляді

Звідси отримаємо оцінку похибки:

, (5)

2. n=2. Якщо у (3) покласти n=2 (h=(b-a)/2), то в результаті отримаємо формулу для трьох вузлів x0=a, x1=(b+a)/2, x2=b:

. (6)

Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку двожиною 2h [xi-1; xi+1] записати формулу Ньютона-Котеса (6), то в результаті отримаємо формулу Сімпсона із залишковим членом рівним

Для оцінки похибки маємо нерівність

, (7)

Подальше збільшення кількості вузлів інтерполяційного полінома не є доцільним, оскільки при великих n у формулі (3) зустрічатимуться як додатні, так і від’ємні коефіцієнти, великі за абсолютним значенням. Тому незначні помилки у обчисленнях значень функції можуть призвести до значної похибки у квадратурній сумі.