![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні наближеного значення визначеного інтеграла
, (1)
Узагальненням методів чисельного інтегрування є метод Ньютона-Котеса, який полягає у заміні підінтегрального виразу інтерполяційним поліномом Лагранжа з вузлами, що розбивають проміжок інтегрування на рівні частини: xi=a+i×h, і=0, 1, 2, …; b=xn=a+n×h.
В інтегралі (1) зробимо заміну: х® a+y×h. Позначимо F(y)=f(a+y×h). Тоді (1) можна записати у вигляді
. (2)
Інтерполяційний поліном n-го ступеню для функції f(х) має вигляд
, а його залишок –
.
Враховуючи, що ,
, інтеграл (2) запишеться таким чином:
(3)
де .
Розглянемо частинні випадки.
1. n=1. Тоді маємо усього 2 вузла, що співпадатимуть з границями інтегрування: x0=a, x1=b; h=b-a. Відповідно з (3) будемо мати
;
, (4)
де
Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку [xi-1; xi] записати формулу Ньютона-Котеса (4), то в результаті отримаємо формулу трапецій із залишковим членом, рівним
Враховуючи, що
матимемо залишок у вигляді
Звідси отримаємо оцінку похибки:
,
(5)
2. n=2. Якщо у (3) покласти n=2 (h=(b-a)/2), то в результаті отримаємо формулу для трьох вузлів x0=a, x1=(b+a)/2, x2=b:
. (6)
Якщо розбити відрізок [a; b] на n рівних частин і на кожному відрізку двожиною 2h [xi-1; xi+1] записати формулу Ньютона-Котеса (6), то в результаті отримаємо формулу Сімпсона із залишковим членом рівним
Для оцінки похибки маємо нерівність
,
(7)
Подальше збільшення кількості вузлів інтерполяційного полінома не є доцільним, оскільки при великих n у формулі (3) зустрічатимуться як додатні, так і від’ємні коефіцієнти, великі за абсолютним значенням. Тому незначні помилки у обчисленнях значень функції можуть призвести до значної похибки у квадратурній сумі.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 680 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!