Поняття про різницеві методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь. Метод Ейлера

Наиболее простым представителем этой группы методов является метод Эйлера решения дифференциального уравнения.

Идея метода заключается в следующем. Зная начальное приближение , т.е. точку , лежащую на искомой интегральной кривой, а также функцию дифференциального уравнения, мы можем на первом шаге определить угол наклона касательной к кривой .

Для небольшой величины шага h можно допустить, что следующая точка решения уравнения лежит на касательной прямой:

. (6.9)

На следующем шаге интегрирования вычисляется новое значение функции в точке , лежащей на касательной проведённой под углом и т.д. В итоге, интегральная кривая заменяется ломаной (см. рис. 6.2). Формула интегрирования (6.3) для метода Эйлера имеет вид:

, (6.10)

где - постоянный шаг интегрирования, а значение начальной точки берётся из начальных условий дифференциального уравнения (6.2).

Если сравнить формулу (6.10) и формулу интегрирования с использованием рядов Тейлора, то видно, что в формуле (6.10) согласуются только два первых члена ряда, а остаточный член пропорционален h, из чего следует, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.